Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7823 / 4816
↖ ↑ ↗
← N 59.355596°
W  8.107910°		 ← 1 245.36 m → N 59.355596°
W  8.085937°		 →
↑
1 245.53 m
↓
↑
1 245.53 m
↓
N 59.344395°
W  8.107910°		 ← 1 245.77 m →
1 551 389 m²		 N 59.344395°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477508544921875 y=0.293975830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477508544921875 × 214)
    floor (0.477508544921875 × 16384)
    floor (7823.5)     		tx = 7823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293975830078125 × 214)
    floor (0.293975830078125 × 16384)
    floor (4816.5)     		ty = 4816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7823 / 4816 ti = "14/7823/4816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7823/4816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7823 ÷ 214
    7823 ÷ 16384     		x = 0.47747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4816 ÷ 214
    4816 ÷ 16384     		y = 0.2939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14150973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2939453125 × 2 - 1) × π
    0.412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29467978493848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14150973} λ = -0.14150973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29467978493848))-π/2
    2×atan(3.64982705740315)-π/2
    2×1.30337345418988-π/2
    2.60674690837976-1.57079632675     		φ = 1.03595058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14150973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03595058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.355596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7823 KachelY 4816 -0.14150973 1.03595058 -8.107910 59.355596
    Oben rechts KachelX + 1 7824 KachelY 4816 -0.14112623 1.03595058 -8.085937 59.355596
    Unten links KachelX 7823 KachelY + 1 4817 -0.14150973 1.03575508 -8.107910 59.344395
    Unten rechts KachelX + 1 7824 KachelY + 1 4817 -0.14112623 1.03575508 -8.085937 59.344395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03595058-1.03575508) × R
    0.000195500000000015 × 6371000     		dl = 1245.5305000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03595058-1.03575508) × R
    0.000195500000000015 × 6371000     		dr = 1245.5305000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14150973--0.14112623) × cos(1.03595058) × R
    0.000383500000000009 × 0.509708334170315 × 6371000     		do = 1245.35941414917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14150973--0.14112623) × cos(1.03575508) × R
    0.000383500000000009 × 0.509876522318698 × 6371000     		du = 1245.77034463607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03595058)-sin(1.03575508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509708334170315-0.509876522318698)×R²
    abs(-0.14112623--0.14150973)×0.000168188148383042×R²
    0.000383500000000009×0.000168188148383042×6371000²
    0.000383500000000009×0.000168188148383042×40589641000000     		ar = 1551389.05195253m²