Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7822 / 4932
↖ ↑ ↗
← N 58.031373°
W  8.129883°		 ← 1 293.57 m → N 58.031373°
W  8.107910°		 →
↑
1 293.82 m
↓
↑
1 293.82 m
↓
N 58.019737°
W  8.129883°		 ← 1 293.99 m →
1 673 925 m²		 N 58.019737°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477447509765625 y=0.301055908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477447509765625 × 214)
    floor (0.477447509765625 × 16384)
    floor (7822.5)     		tx = 7822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301055908203125 × 214)
    floor (0.301055908203125 × 16384)
    floor (4932.5)     		ty = 4932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7822 / 4932 ti = "14/7822/4932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7822/4932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7822 ÷ 214
    7822 ÷ 16384     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4932 ÷ 214
    4932 ÷ 16384     		y = 0.301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301025390625 × 2 - 1) × π
    0.39794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25019434209106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25019434209106))-π/2
    2×atan(3.49102134392811)-π/2
    2×1.29181742249351-π/2
    2.58363484498701-1.57079632675     		φ = 1.01283852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01283852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.031373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7822 KachelY 4932 -0.14189322 1.01283852 -8.129883 58.031373
    Oben rechts KachelX + 1 7823 KachelY 4932 -0.14150973 1.01283852 -8.107910 58.031373
    Unten links KachelX 7822 KachelY + 1 4933 -0.14189322 1.01263544 -8.129883 58.019737
    Unten rechts KachelX + 1 7823 KachelY + 1 4933 -0.14150973 1.01263544 -8.107910 58.019737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01283852-1.01263544) × R
    0.000203080000000133 × 6371000     		dl = 1293.82268000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01283852-1.01263544) × R
    0.000203080000000133 × 6371000     		dr = 1293.82268000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14150973) × cos(1.01283852) × R
    0.000383489999999986 × 0.529454832823138 × 6371000     		do = 1293.57187819042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14150973) × cos(1.01263544) × R
    0.000383489999999986 × 0.529627102411306 × 6371000     		du = 1293.9927697961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01283852)-sin(1.01263544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529454832823138-0.529627102411306)×R²
    abs(-0.14150973--0.14189322)×0.000172269588167628×R²
    0.000383489999999986×0.000172269588167628×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172269588167628×40589641000000     		ar = 1673924.91951914m²