Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78218 / 82090
↖ ↑ ↗
← S 41.331451°
E 34.832153°		 ← 229.34 m → S 41.331451°
E 34.834900°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 41.333513°
E 34.832153°		 ← 229.34 m →
52 586 m²		 S 41.333513°
E 34.834900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596759796142578 y=0.626300811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596759796142578 × 217)
    floor (0.596759796142578 × 131072)
    floor (78218.5)     		tx = 78218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626300811767578 × 217)
    floor (0.626300811767578 × 131072)
    floor (82090.5)     		ty = 82090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78218 / 82090 ti = "17/78218/82090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78218/82090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78218 ÷ 217
    78218 ÷ 131072     		x = 0.596755981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82090 ÷ 217
    82090 ÷ 131072     		y = 0.626296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596755981445312 × 2 - 1) × π
    0.193511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60793576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.252593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.79354743631041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60793576} λ = 0.60793576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79354743631041))-π/2
    2×atan(0.452237662063037)-π/2
    2×0.424713208697455-π/2
    0.84942641739491-1.57079632675     		φ = -0.72136991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60793576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.832153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72136991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.331451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78218 KachelY 82090 0.60793576 -0.72136991 34.832153 -41.331451
    Oben rechts KachelX + 1 78219 KachelY 82090 0.60798370 -0.72136991 34.834900 -41.331451
    Unten links KachelX 78218 KachelY + 1 82091 0.60793576 -0.72140590 34.832153 -41.333513
    Unten rechts KachelX + 1 78219 KachelY + 1 82091 0.60798370 -0.72140590 34.834900 -41.333513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72136991--0.72140590) × R
    3.59900000000968e-05 × 6371000     		dl = 229.292290000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72136991--0.72140590) × R
    3.59900000000968e-05 × 6371000     		dr = 229.292290000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60793576-0.60798370) × cos(-0.72136991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750901726328162 × 6371000     		do = 229.344715430906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60793576-0.60798370) × cos(-0.72140590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750877957543465 × 6371000     		du = 229.337455832251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72136991)-sin(-0.72140590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750901726328162-0.750877957543465)×R²
    abs(0.60798370-0.60793576)×2.37687846976753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37687846976753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37687846976753e-05×40589641000000     		ar = 52586.1427215739m²