Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78215 / 82082
↖ ↑ ↗
← S 41.314950°
E 34.823914°		 ← 229.40 m → S 41.314950°
E 34.826660°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.317013°
E 34.823914°		 ← 229.40 m →
52 614 m²		 S 41.317013°
E 34.826660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596736907958984 y=0.626239776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596736907958984 × 217)
    floor (0.596736907958984 × 131072)
    floor (78215.5)     		tx = 78215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626239776611328 × 217)
    floor (0.626239776611328 × 131072)
    floor (82082.5)     		ty = 82082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78215 / 82082 ti = "17/78215/82082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78215/82082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78215 ÷ 217
    78215 ÷ 131072     		x = 0.596733093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82082 ÷ 217
    82082 ÷ 131072     		y = 0.626235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596733093261719 × 2 - 1) × π
    0.193466186523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.60779195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.252471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.793163941113449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60779195} λ = 0.60779195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793163941113449))-π/2
    2×atan(0.452411126293547)-π/2
    2×0.424857210532843-π/2
    0.849714421065686-1.57079632675     		φ = -0.72108191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60779195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.823914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72108191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.314950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78215 KachelY 82082 0.60779195 -0.72108191 34.823914 -41.314950
    Oben rechts KachelX + 1 78216 KachelY 82082 0.60783989 -0.72108191 34.826660 -41.314950
    Unten links KachelX 78215 KachelY + 1 82083 0.60779195 -0.72111791 34.823914 -41.317013
    Unten rechts KachelX + 1 78216 KachelY + 1 82083 0.60783989 -0.72111791 34.826660 -41.317013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72108191--0.72111791) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dl = 229.356000000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72108191--0.72111791) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dr = 229.356000000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60779195-0.60783989) × cos(-0.72108191) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.751091894404363 × 6371000     		do = 229.402797656835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60779195-0.60783989) × cos(-0.72111791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.751068126801467 × 6371000     		du = 229.395538419133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72108191)-sin(-0.72111791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751091894404363-0.751068126801467)×R²
    abs(0.60783989-0.60779195)×2.37676028956857e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37676028956857e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37676028956857e-05×40589641000000     		ar = 52614.0755901101m²