Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78214 / 84355
↖ ↑ ↗
← S 45.834540°
E 34.821167°		 ← 212.80 m → S 45.834540°
E 34.823914°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 45.836454°
E 34.821167°		 ← 212.79 m →
45 281 m²		 S 45.836454°
E 34.823914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596729278564453 y=0.643581390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596729278564453 × 217)
    floor (0.596729278564453 × 131072)
    floor (78214.5)     		tx = 78214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643581390380859 × 217)
    floor (0.643581390380859 × 131072)
    floor (84355.5)     		ty = 84355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78214 / 84355 ti = "17/78214/84355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78214/84355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78214 ÷ 217
    78214 ÷ 131072     		x = 0.596725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84355 ÷ 217
    84355 ÷ 131072     		y = 0.643577575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596725463867188 × 2 - 1) × π
    0.193450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60774401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643577575683594 × 2 - 1) × π
    -0.287155151367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.902124513949837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60774401} λ = 0.60774401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902124513949837))-π/2
    2×atan(0.40570681371565)-π/2
    2×0.385416342416798-π/2
    0.770832684833596-1.57079632675     		φ = -0.79996364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60774401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.821167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79996364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.834540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78214 KachelY 84355 0.60774401 -0.79996364 34.821167 -45.834540
    Oben rechts KachelX + 1 78215 KachelY 84355 0.60779195 -0.79996364 34.823914 -45.834540
    Unten links KachelX 78214 KachelY + 1 84356 0.60774401 -0.79999704 34.821167 -45.836454
    Unten rechts KachelX + 1 78215 KachelY + 1 84356 0.60779195 -0.79999704 34.823914 -45.836454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79996364--0.79999704) × R
    3.34000000000723e-05 × 6371000     		dl = 212.79140000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79996364--0.79999704) × R
    3.34000000000723e-05 × 6371000     		dr = 212.79140000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60774401-0.60779195) × cos(-0.79996364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696732791954084 × 6371000     		do = 212.800128564703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60774401-0.60779195) × cos(-0.79999704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696708832718142 × 6371000     		du = 212.792810797335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79996364)-sin(-0.79999704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696732791954084-0.696708832718142)×R²
    abs(0.60779195-0.60774401)×2.3959235942006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3959235942006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3959235942006e-05×40589641000000     		ar = 45281.2587028768m²