Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78214 / 82083
↖ ↑ ↗
← S 41.317013°
E 34.821167°		 ← 229.40 m → S 41.317013°
E 34.823914°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.319075°
E 34.821167°		 ← 229.39 m →
52 612 m²		 S 41.319075°
E 34.823914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596729278564453 y=0.626247406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596729278564453 × 217)
    floor (0.596729278564453 × 131072)
    floor (78214.5)     		tx = 78214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626247406005859 × 217)
    floor (0.626247406005859 × 131072)
    floor (82083.5)     		ty = 82083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78214 / 82083 ti = "17/78214/82083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78214/82083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78214 ÷ 217
    78214 ÷ 131072     		x = 0.596725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82083 ÷ 217
    82083 ÷ 131072     		y = 0.626243591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596725463867188 × 2 - 1) × π
    0.193450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60774401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626243591308594 × 2 - 1) × π
    -0.252487182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.793211878013069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60774401} λ = 0.60774401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793211878013069))-π/2
    2×atan(0.452389439626598)-π/2
    2×0.424839208309273-π/2
    0.849678416618546-1.57079632675     		φ = -0.72111791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60774401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.821167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72111791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.317013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78214 KachelY 82083 0.60774401 -0.72111791 34.821167 -41.317013
    Oben rechts KachelX + 1 78215 KachelY 82083 0.60779195 -0.72111791 34.823914 -41.317013
    Unten links KachelX 78214 KachelY + 1 82084 0.60774401 -0.72115391 34.821167 -41.319075
    Unten rechts KachelX + 1 78215 KachelY + 1 82084 0.60779195 -0.72115391 34.823914 -41.319075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72111791--0.72115391) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72111791--0.72115391) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60774401-0.60779195) × cos(-0.72111791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751068126801467 × 6371000     		do = 229.395538418601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60774401-0.60779195) × cos(-0.72115391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751044358225187 × 6371000     		du = 229.388278883602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72111791)-sin(-0.72115391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751068126801467-0.751044358225187)×R²
    abs(0.60779195-0.60774401)×2.37685762799478e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37685762799478e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37685762799478e-05×40589641000000     		ar = 52612.4106061891m²