Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78213 / 84357
↖ ↑ ↗
← S 45.838368°
E 34.818421°		 ← 212.74 m → S 45.838368°
E 34.821167°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 45.840281°
E 34.818421°		 ← 212.73 m →
45 255 m²		 S 45.840281°
E 34.821167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596721649169922 y=0.643596649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596721649169922 × 217)
    floor (0.596721649169922 × 131072)
    floor (78213.5)     		tx = 78213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643596649169922 × 217)
    floor (0.643596649169922 × 131072)
    floor (84357.5)     		ty = 84357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78213 / 84357 ti = "17/78213/84357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78213/84357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78213 ÷ 217
    78213 ÷ 131072     		x = 0.596717834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84357 ÷ 217
    84357 ÷ 131072     		y = 0.643592834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596717834472656 × 2 - 1) × π
    0.193435668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60769608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643592834472656 × 2 - 1) × π
    -0.287185668945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.902220387749077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60769608} λ = 0.60769608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902220387749077))-π/2
    2×atan(0.405667918926567)-π/2
    2×0.38538294435544-π/2
    0.770765888710879-1.57079632675     		φ = -0.80003044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60769608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.818421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80003044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.838368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78213 KachelY 84357 0.60769608 -0.80003044 34.818421 -45.838368
    Oben rechts KachelX + 1 78214 KachelY 84357 0.60774401 -0.80003044 34.821167 -45.838368
    Unten links KachelX 78213 KachelY + 1 84358 0.60769608 -0.80006383 34.818421 -45.840281
    Unten rechts KachelX + 1 78214 KachelY + 1 84358 0.60774401 -0.80006383 34.821167 -45.840281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80003044--0.80006383) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80003044--0.80006383) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60769608-0.60774401) × cos(-0.80003044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69668487270498 × 6371000     		do = 212.741106999614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60769608-0.60774401) × cos(-0.80006383) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.696660919088629 × 6371000     		du = 212.7337924747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80003044)-sin(-0.80006383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69668487270498-0.696660919088629)×R²
    abs(0.60774401-0.60769608)×2.39536163506582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39536163506582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39536163506582e-05×40589641000000     		ar = 45255.1462633188m²