Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78213 / 84356
↖ ↑ ↗
← S 45.836454°
E 34.818421°		 ← 212.75 m → S 45.836454°
E 34.821167°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 45.838368°
E 34.818421°		 ← 212.74 m →
45 270 m²		 S 45.838368°
E 34.821167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596721649169922 y=0.643589019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596721649169922 × 217)
    floor (0.596721649169922 × 131072)
    floor (78213.5)     		tx = 78213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643589019775391 × 217)
    floor (0.643589019775391 × 131072)
    floor (84356.5)     		ty = 84356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78213 / 84356 ti = "17/78213/84356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78213/84356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78213 ÷ 217
    78213 ÷ 131072     		x = 0.596717834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84356 ÷ 217
    84356 ÷ 131072     		y = 0.643585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596717834472656 × 2 - 1) × π
    0.193435668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60769608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.28717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.902172450849457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60769608} λ = 0.60769608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902172450849457))-π/2
    2×atan(0.405687365854985)-π/2
    2×0.385399643098998-π/2
    0.770799286197996-1.57079632675     		φ = -0.79999704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60769608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.818421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79999704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.836454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78213 KachelY 84356 0.60769608 -0.79999704 34.818421 -45.836454
    Oben rechts KachelX + 1 78214 KachelY 84356 0.60774401 -0.79999704 34.821167 -45.836454
    Unten links KachelX 78213 KachelY + 1 84357 0.60769608 -0.80003044 34.818421 -45.838368
    Unten rechts KachelX + 1 78214 KachelY + 1 84357 0.60774401 -0.80003044 34.821167 -45.838368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79999704--0.80003044) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79999704--0.80003044) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60769608-0.60774401) × cos(-0.79999704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.696708832718142 × 6371000     		do = 212.748423477873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60769608-0.60774401) × cos(-0.80003044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69668487270498 × 6371000     		du = 212.741106999614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79999704)-sin(-0.80003044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696708832718142-0.69668487270498)×R²
    abs(0.60774401-0.60769608)×2.39600131625162e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39600131625162e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39600131625162e-05×40589641000000     		ar = 45270.2564418625m²