Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78213 / 57302
↖ ↑ ↗
← N 22.050005°
E 34.818421°		 ← 283.03 m → N 22.050005°
E 34.821167°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.047459°
E 34.818421°		 ← 283.03 m →
80 115 m²		 N 22.047459°
E 34.821167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596721649169922 y=0.437183380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596721649169922 × 217)
    floor (0.596721649169922 × 131072)
    floor (78213.5)     		tx = 78213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437183380126953 × 217)
    floor (0.437183380126953 × 131072)
    floor (57302.5)     		ty = 57302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78213 / 57302 ti = "17/78213/57302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78213/57302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78213 ÷ 217
    78213 ÷ 131072     		x = 0.596717834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57302 ÷ 217
    57302 ÷ 131072     		y = 0.437179565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596717834472656 × 2 - 1) × π
    0.193435668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60769608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437179565429688 × 2 - 1) × π
    0.125640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.394712431471542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60769608} λ = 0.60769608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394712431471542))-π/2
    2×atan(1.48395739011365)-π/2
    2×0.977820755024836-π/2
    1.95564151004967-1.57079632675     		φ = 0.38484518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60769608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.818421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38484518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.050005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78213 KachelY 57302 0.60769608 0.38484518 34.818421 22.050005
    Oben rechts KachelX + 1 78214 KachelY 57302 0.60774401 0.38484518 34.821167 22.050005
    Unten links KachelX 78213 KachelY + 1 57303 0.60769608 0.38480075 34.818421 22.047459
    Unten rechts KachelX + 1 78214 KachelY + 1 57303 0.60774401 0.38480075 34.821167 22.047459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38484518-0.38480075) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38484518-0.38480075) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60769608-0.60774401) × cos(0.38484518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92685656563118 × 6371000     		do = 283.026802400139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60769608-0.60774401) × cos(0.38480075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926873244433477 × 6371000     		du = 283.031895473066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38484518)-sin(0.38480075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92685656563118-0.926873244433477)×R²
    abs(0.60774401-0.60769608)×1.66788022968323e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66788022968323e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66788022968323e-05×40589641000000     		ar = 80115.2866167246m²