Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78210 / 57227
↖ ↑ ↗
← N 22.240802°
E 34.810181°		 ← 282.64 m → N 22.240802°
E 34.812927°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.238260°
E 34.810181°		 ← 282.65 m →
79 899 m²		 N 22.238260°
E 34.812927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596698760986328 y=0.436611175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596698760986328 × 217)
    floor (0.596698760986328 × 131072)
    floor (78210.5)     		tx = 78210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436611175537109 × 217)
    floor (0.436611175537109 × 131072)
    floor (57227.5)     		ty = 57227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78210 / 57227 ti = "17/78210/57227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78210/57227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78210 ÷ 217
    78210 ÷ 131072     		x = 0.596694946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57227 ÷ 217
    57227 ÷ 131072     		y = 0.436607360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596694946289062 × 2 - 1) × π
    0.193389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60755227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436607360839844 × 2 - 1) × π
    0.126785278320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.398307698943047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60755227} λ = 0.60755227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398307698943047))-π/2
    2×atan(1.48930221612973)-π/2
    2×0.979485776663809-π/2
    1.95897155332762-1.57079632675     		φ = 0.38817523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60755227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.810181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38817523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.240802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78210 KachelY 57227 0.60755227 0.38817523 34.810181 22.240802
    Oben rechts KachelX + 1 78211 KachelY 57227 0.60760020 0.38817523 34.812927 22.240802
    Unten links KachelX 78210 KachelY + 1 57228 0.60755227 0.38813086 34.810181 22.238260
    Unten rechts KachelX + 1 78211 KachelY + 1 57228 0.60760020 0.38813086 34.812927 22.238260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38817523-0.38813086) × R
    4.43699999999603e-05 × 6371000     		dl = 282.681269999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38817523-0.38813086) × R
    4.43699999999603e-05 × 6371000     		dr = 282.681269999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60755227-0.60760020) × cos(0.38817523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925601276012582 × 6371000     		do = 282.643484613965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60755227-0.60760020) × cos(0.38813086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925618069148094 × 6371000     		du = 282.648612599915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38817523)-sin(0.38813086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925601276012582-0.925618069148094)×R²
    abs(0.60760020-0.60755227)×1.6793135512283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6793135512283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6793135512283e-05×40589641000000     		ar = 79898.7439938279m²