Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7821 / 9863
↖ ↑ ↗
← S 34.434098°
W  8.151856°		 ← 2 015.16 m → S 34.434098°
W  8.129883°		 →
↑
2 014.96 m
↓
↑
2 014.96 m
↓
S 34.452219°
W  8.151856°		 ← 2 014.72 m →
4 060 019 m²		 S 34.452219°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477386474609375 y=0.602020263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477386474609375 × 214)
    floor (0.477386474609375 × 16384)
    floor (7821.5)     		tx = 7821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602020263671875 × 214)
    floor (0.602020263671875 × 16384)
    floor (9863.5)     		ty = 9863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7821 / 9863 ti = "14/7821/9863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7821/9863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7821 ÷ 214
    7821 ÷ 16384     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9863 ÷ 214
    9863 ÷ 16384     		y = 0.60198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.2039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.640820474120911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640820474120911))-π/2
    2×atan(0.526859971687212)-π/2
    2×0.484903971806366-π/2
    0.969807943612732-1.57079632675     		φ = -0.60098838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60098838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.434098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7821 KachelY 9863 -0.14227672 -0.60098838 -8.151856 -34.434098
    Oben rechts KachelX + 1 7822 KachelY 9863 -0.14189322 -0.60098838 -8.129883 -34.434098
    Unten links KachelX 7821 KachelY + 1 9864 -0.14227672 -0.60130465 -8.151856 -34.452219
    Unten rechts KachelX + 1 7822 KachelY + 1 9864 -0.14189322 -0.60130465 -8.129883 -34.452219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60098838--0.60130465) × R
    0.000316270000000007 × 6371000     		dl = 2014.95617000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60098838--0.60130465) × R
    0.000316270000000007 × 6371000     		dr = 2014.95617000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14189322) × cos(-0.60098838) × R
    0.000383500000000009 × 0.824777130539594 × 6371000     		do = 2015.16023033913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14189322) × cos(-0.60130465) × R
    0.000383500000000009 × 0.824598251909172 × 6371000     		du = 2014.72318002731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60098838)-sin(-0.60130465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824777130539594-0.824598251909172)×R²
    abs(-0.14189322--0.14227672)×0.000178878630421986×R²
    0.000383500000000009×0.000178878630421986×6371000²
    0.000383500000000009×0.000178878630421986×40589641000000     		ar = 4060019.25489174m²