Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7821 / 3191
↖ ↑ ↗
← N 73.283675°
W  8.151856°		 ← 702.77 m → N 73.283675°
W  8.129883°		 →
↑
702.91 m
↓
↑
702.91 m
↓
N 73.277353°
W  8.151856°		 ← 703.03 m →
494 075 m²		 N 73.277353°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477386474609375 y=0.194793701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477386474609375 × 214)
    floor (0.477386474609375 × 16384)
    floor (7821.5)     		tx = 7821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194793701171875 × 214)
    floor (0.194793701171875 × 16384)
    floor (3191.5)     		ty = 3191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7821 / 3191 ti = "14/7821/3191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7821/3191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7821 ÷ 214
    7821 ÷ 16384     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3191 ÷ 214
    3191 ÷ 16384     		y = 0.19476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19476318359375 × 2 - 1) × π
    0.6104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91785947999921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91785947999921))-π/2
    2×atan(6.8063736863412)-π/2
    2×1.42491886679797-π/2
    2.84983773359594-1.57079632675     		φ = 1.27904141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27904141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.283675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7821 KachelY 3191 -0.14227672 1.27904141 -8.151856 73.283675
    Oben rechts KachelX + 1 7822 KachelY 3191 -0.14189322 1.27904141 -8.129883 73.283675
    Unten links KachelX 7821 KachelY + 1 3192 -0.14227672 1.27893108 -8.151856 73.277353
    Unten rechts KachelX + 1 7822 KachelY + 1 3192 -0.14189322 1.27893108 -8.129883 73.277353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27904141-1.27893108) × R
    0.000110330000000047 × 6371000     		dl = 702.912430000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27904141-1.27893108) × R
    0.000110330000000047 × 6371000     		dr = 702.912430000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14189322) × cos(1.27904141) × R
    0.000383500000000009 × 0.287633422184281 × 6371000     		do = 702.768556304292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14189322) × cos(1.27893108) × R
    0.000383500000000009 × 0.287739087951381 × 6371000     		du = 703.026727201233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27904141)-sin(1.27893108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287633422184281-0.287739087951381)×R²
    abs(-0.14189322--0.14227672)×0.000105665767099861×R²
    0.000383500000000009×0.000105665767099861×6371000²
    0.000383500000000009×0.000105665767099861×40589641000000     		ar = 494075.489907877m²