Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78209 / 57725
↖ ↑ ↗
← N 20.969134°
E 34.807434°		 ← 285.20 m → N 20.969134°
E 34.810181°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.966569°
E 34.807434°		 ← 285.20 m →
81 348 m²		 N 20.966569°
E 34.810181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596691131591797 y=0.440410614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596691131591797 × 217)
    floor (0.596691131591797 × 131072)
    floor (78209.5)     		tx = 78209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440410614013672 × 217)
    floor (0.440410614013672 × 131072)
    floor (57725.5)     		ty = 57725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78209 / 57725 ti = "17/78209/57725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78209/57725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78209 ÷ 217
    78209 ÷ 131072     		x = 0.596687316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57725 ÷ 217
    57725 ÷ 131072     		y = 0.440406799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596687316894531 × 2 - 1) × π
    0.193374633789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.60750433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440406799316406 × 2 - 1) × π
    0.119186401367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.374435122932259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60750433} λ = 0.60750433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374435122932259))-π/2
    2×atan(1.45416975542439)-π/2
    2×0.968388377031-π/2
    1.936776754062-1.57079632675     		φ = 0.36598043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60750433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.807434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36598043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.969134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78209 KachelY 57725 0.60750433 0.36598043 34.807434 20.969134
    Oben rechts KachelX + 1 78210 KachelY 57725 0.60755227 0.36598043 34.810181 20.969134
    Unten links KachelX 78209 KachelY + 1 57726 0.60750433 0.36593566 34.807434 20.966569
    Unten rechts KachelX + 1 78210 KachelY + 1 57726 0.60755227 0.36593566 34.810181 20.966569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36598043-0.36593566) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36598043-0.36593566) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60750433-0.60755227) × cos(0.36598043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933773348464035 × 6371000     		do = 285.198415946719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60750433-0.60755227) × cos(0.36593566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93378936914274 × 6371000     		du = 285.203309074368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36598043)-sin(0.36593566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933773348464035-0.93378936914274)×R²
    abs(0.60755227-0.60750433)×1.60206787048756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60206787048756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60206787048756e-05×40589641000000     		ar = 81347.7479112885m²