Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78207 / 82096
↖ ↑ ↗
← S 41.343824°
E 34.801941°		 ← 229.25 m → S 41.343824°
E 34.804687°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 41.345886°
E 34.801941°		 ← 229.25 m →
52 565 m²		 S 41.345886°
E 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596675872802734 y=0.626346588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596675872802734 × 217)
    floor (0.596675872802734 × 131072)
    floor (78207.5)     		tx = 78207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626346588134766 × 217)
    floor (0.626346588134766 × 131072)
    floor (82096.5)     		ty = 82096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78207 / 82096 ti = "17/78207/82096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78207/82096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78207 ÷ 217
    78207 ÷ 131072     		x = 0.596672058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82096 ÷ 217
    82096 ÷ 131072     		y = 0.6263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596672058105469 × 2 - 1) × π
    0.193344116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.60740846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60740846} λ = 0.60740846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79383505770813))-π/2
    2×atan(0.452107607538701)-π/2
    2×0.424605231251637-π/2
    0.849210462503275-1.57079632675     		φ = -0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60740846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.801941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78207 KachelY 82096 0.60740846 -0.72158586 34.801941 -41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 78208 KachelY 82096 0.60745639 -0.72158586 34.804687 -41.343824
    Unten links KachelX 78207 KachelY + 1 82097 0.60740846 -0.72162185 34.801941 -41.345886
    Unten rechts KachelX + 1 78208 KachelY + 1 82097 0.60745639 -0.72162185 34.804687 -41.345886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72158586--0.72162185) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72158586--0.72162185) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60740846-0.60745639) × cos(-0.72158586) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 229.253320503731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60740846-0.60745639) × cos(-0.72162185) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.750735317805783 × 6371000     		du = 229.246060637478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72158586)-sin(-0.72162185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750735317805783)×R²
    abs(0.60745639-0.60740846)×2.37746200895117e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37746200895117e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37746200895117e-05×40589641000000     		ar = 52565.1865384729m²