Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78205 / 82099
↖ ↑ ↗
← S 41.350011°
E 34.796448°		 ← 229.28 m → S 41.350011°
E 34.799194°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 41.352072°
E 34.796448°		 ← 229.27 m →
52 557 m²		 S 41.352072°
E 34.799194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596660614013672 y=0.626369476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596660614013672 × 217)
    floor (0.596660614013672 × 131072)
    floor (78205.5)     		tx = 78205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626369476318359 × 217)
    floor (0.626369476318359 × 131072)
    floor (82099.5)     		ty = 82099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78205 / 82099 ti = "17/78205/82099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78205/82099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78205 ÷ 217
    78205 ÷ 131072     		x = 0.596656799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82099 ÷ 217
    82099 ÷ 131072     		y = 0.626365661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596656799316406 × 2 - 1) × π
    0.193313598632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.60731258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626365661621094 × 2 - 1) × π
    -0.252731323242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.79397886840699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60731258} λ = 0.60731258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79397886840699))-π/2
    2×atan(0.452042594302613)-π/2
    2×0.424551250221151-π/2
    0.849102500442301-1.57079632675     		φ = -0.72169383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60731258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.796448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72169383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.350011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78205 KachelY 82099 0.60731258 -0.72169383 34.796448 -41.350011
    Oben rechts KachelX + 1 78206 KachelY 82099 0.60736052 -0.72169383 34.799194 -41.350011
    Unten links KachelX 78205 KachelY + 1 82100 0.60731258 -0.72172981 34.796448 -41.352072
    Unten rechts KachelX + 1 78206 KachelY + 1 82100 0.60736052 -0.72172981 34.799194 -41.352072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72169383--0.72172981) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dl = 229.228580000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72169383--0.72172981) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dr = 229.228580000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60731258-0.60736052) × cos(-0.72169383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750687765648397 × 6371000     		do = 229.279366331958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60731258-0.60736052) × cos(-0.72172981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750663994718004 × 6371000     		du = 229.272106077952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72169383)-sin(-0.72172981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750687765648397-0.750663994718004)×R²
    abs(0.60736052-0.60731258)×2.37709303930744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37709303930744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37709303930744e-05×40589641000000     		ar = 52556.5514445919m²