Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78201 / 82088
↖ ↑ ↗
← S 41.327327°
E 34.785461°		 ← 229.36 m → S 41.327327°
E 34.788208°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 41.329389°
E 34.785461°		 ← 229.35 m →
52 589 m²		 S 41.329389°
E 34.788208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596630096435547 y=0.626285552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596630096435547 × 217)
    floor (0.596630096435547 × 131072)
    floor (78201.5)     		tx = 78201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626285552978516 × 217)
    floor (0.626285552978516 × 131072)
    floor (82088.5)     		ty = 82088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78201 / 82088 ti = "17/78201/82088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78201/82088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78201 ÷ 217
    78201 ÷ 131072     		x = 0.596626281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82088 ÷ 217
    82088 ÷ 131072     		y = 0.62628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596626281738281 × 2 - 1) × π
    0.193252563476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.60712083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.2525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793451562511169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60712083} λ = 0.60712083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793451562511169))-π/2
    2×atan(0.452281021884361)-π/2
    2×0.424749205737712-π/2
    0.849498411475424-1.57079632675     		φ = -0.72129792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60712083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.785461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72129792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.327327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78201 KachelY 82088 0.60712083 -0.72129792 34.785461 -41.327327
    Oben rechts KachelX + 1 78202 KachelY 82088 0.60716877 -0.72129792 34.788208 -41.327327
    Unten links KachelX 78201 KachelY + 1 82089 0.60712083 -0.72133391 34.785461 -41.329389
    Unten rechts KachelX + 1 78202 KachelY + 1 82089 0.60716877 -0.72133391 34.788208 -41.329389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72129792--0.72133391) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72129792--0.72133391) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60712083-0.60716877) × cos(-0.72129792) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750949267583241 × 6371000     		do = 229.35923575445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60712083-0.60716877) × cos(-0.72133391) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750925500744101 × 6371000     		du = 229.351976750018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72129792)-sin(-0.72133391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750949267583241-0.750925500744101)×R²
    abs(0.60716877-0.60712083)×2.37668391402934e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37668391402934e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37668391402934e-05×40589641000000     		ar = 52589.4721876613m²