Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78200 / 82089
↖ ↑ ↗
← S 41.329389°
E 34.782715°		 ← 229.30 m → S 41.329389°
E 34.785461°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.331451°
E 34.782715°		 ← 229.30 m →
52 591 m²		 S 41.331451°
E 34.785461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596622467041016 y=0.626293182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596622467041016 × 217)
    floor (0.596622467041016 × 131072)
    floor (78200.5)     		tx = 78200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626293182373047 × 217)
    floor (0.626293182373047 × 131072)
    floor (82089.5)     		ty = 82089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78200 / 82089 ti = "17/78200/82089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78200/82089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78200 ÷ 217
    78200 ÷ 131072     		x = 0.59661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82089 ÷ 217
    82089 ÷ 131072     		y = 0.626289367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59661865234375 × 2 - 1) × π
    0.1932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60707290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626289367675781 × 2 - 1) × π
    -0.252578735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.793499499410789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60707290} λ = 0.60707290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793499499410789))-π/2
    2×atan(0.452259341454065)-π/2
    2×0.424731206932695-π/2
    0.849462413865389-1.57079632675     		φ = -0.72133391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60707290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72133391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.329389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78200 KachelY 82089 0.60707290 -0.72133391 34.782715 -41.329389
    Oben rechts KachelX + 1 78201 KachelY 82089 0.60712083 -0.72133391 34.785461 -41.329389
    Unten links KachelX 78200 KachelY + 1 82090 0.60707290 -0.72136991 34.782715 -41.331451
    Unten rechts KachelX + 1 78201 KachelY + 1 82090 0.60712083 -0.72136991 34.785461 -41.331451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72133391--0.72136991) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72133391--0.72136991) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60707290-0.60712083) × cos(-0.72133391) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.750925500744101 × 6371000     		do = 229.304135285594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60707290-0.60712083) × cos(-0.72136991) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.750901726328162 × 6371000     		du = 229.296875481681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72133391)-sin(-0.72136991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750925500744101-0.750901726328162)×R²
    abs(0.60712083-0.60707290)×2.37744159387043e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37744159387043e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37744159387043e-05×40589641000000     		ar = 52591.446718206m²