Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78199 / 82086
↖ ↑ ↗
← S 41.323201°
E 34.779968°		 ← 229.37 m → S 41.323201°
E 34.782715°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.325264°
E 34.779968°		 ← 229.37 m →
52 607 m²		 S 41.325264°
E 34.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596614837646484 y=0.626270294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596614837646484 × 217)
    floor (0.596614837646484 × 131072)
    floor (78199.5)     		tx = 78199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626270294189453 × 217)
    floor (0.626270294189453 × 131072)
    floor (82086.5)     		ty = 82086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78199 / 82086 ti = "17/78199/82086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78199/82086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78199 ÷ 217
    78199 ÷ 131072     		x = 0.596611022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82086 ÷ 217
    82086 ÷ 131072     		y = 0.626266479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596611022949219 × 2 - 1) × π
    0.193222045898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.60702496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626266479492188 × 2 - 1) × π
    -0.252532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.793355688711929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60702496} λ = 0.60702496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793355688711929))-π/2
    2×atan(0.452324385862955)-π/2
    2×0.424785205057057-π/2
    0.849570410114114-1.57079632675     		φ = -0.72122592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60702496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.779968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72122592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.323201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78199 KachelY 82086 0.60702496 -0.72122592 34.779968 -41.323201
    Oben rechts KachelX + 1 78200 KachelY 82086 0.60707290 -0.72122592 34.782715 -41.323201
    Unten links KachelX 78199 KachelY + 1 82087 0.60702496 -0.72126192 34.779968 -41.325264
    Unten rechts KachelX + 1 78200 KachelY + 1 82087 0.60707290 -0.72126192 34.782715 -41.325264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72122592--0.72126192) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dl = 229.356000000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72122592--0.72126192) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dr = 229.356000000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60702496-0.60707290) × cos(-0.72122592) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750996811549539 × 6371000     		do = 229.373756905539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60702496-0.60707290) × cos(-0.72126192) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750973040053021 × 6371000     		du = 229.366496478624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72122592)-sin(-0.72126192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750996811549539-0.750973040053021)×R²
    abs(0.60707290-0.60702496)×2.37714965184432e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37714965184432e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37714965184432e-05×40589641000000     		ar = 52607.4147832137m²