Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78197 / 82109
↖ ↑ ↗
← S 41.370626°
E 34.774475°		 ← 229.16 m → S 41.370626°
E 34.777222°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 41.372687°
E 34.774475°		 ← 229.15 m →
52 514 m²		 S 41.372687°
E 34.777222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596599578857422 y=0.626445770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596599578857422 × 217)
    floor (0.596599578857422 × 131072)
    floor (78197.5)     		tx = 78197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626445770263672 × 217)
    floor (0.626445770263672 × 131072)
    floor (82109.5)     		ty = 82109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78197 / 82109 ti = "17/78197/82109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78197/82109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78197 ÷ 217
    78197 ÷ 131072     		x = 0.596595764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82109 ÷ 217
    82109 ÷ 131072     		y = 0.626441955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596595764160156 × 2 - 1) × π
    0.193191528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60692909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626441955566406 × 2 - 1) × π
    -0.252883911132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.794458237403191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60692909} λ = 0.60692909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794458237403191))-π/2
    2×atan(0.451825951028125)-π/2
    2×0.424371350492612-π/2
    0.848742700985224-1.57079632675     		φ = -0.72205363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60692909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.774475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72205363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.370626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78197 KachelY 82109 0.60692909 -0.72205363 34.774475 -41.370626
    Oben rechts KachelX + 1 78198 KachelY 82109 0.60697702 -0.72205363 34.777222 -41.370626
    Unten links KachelX 78197 KachelY + 1 82110 0.60692909 -0.72208960 34.774475 -41.372687
    Unten rechts KachelX + 1 78198 KachelY + 1 82110 0.60697702 -0.72208960 34.777222 -41.372687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72205363--0.72208960) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72205363--0.72208960) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60692909-0.60697702) × cos(-0.72205363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750450012618066 × 6371000     		do = 229.158939266719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60692909-0.60697702) × cos(-0.72208960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750426238580801 × 6371000     		du = 229.151679578438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72205363)-sin(-0.72208960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750450012618066-0.750426238580801)×R²
    abs(0.60697702-0.60692909)×2.37740372647233e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37740372647233e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37740372647233e-05×40589641000000     		ar = 52514.3466992819m²