Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78194 / 57727
↖ ↑ ↗
← N 20.964004°
E 34.766236°		 ← 285.15 m → N 20.964004°
E 34.768982°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.961440°
E 34.766236°		 ← 285.15 m →
81 315 m²		 N 20.961440°
E 34.768982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596576690673828 y=0.440425872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596576690673828 × 217)
    floor (0.596576690673828 × 131072)
    floor (78194.5)     		tx = 78194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440425872802734 × 217)
    floor (0.440425872802734 × 131072)
    floor (57727.5)     		ty = 57727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78194 / 57727 ti = "17/78194/57727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78194/57727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78194 ÷ 217
    78194 ÷ 131072     		x = 0.596572875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57727 ÷ 217
    57727 ÷ 131072     		y = 0.440422058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596572875976562 × 2 - 1) × π
    0.193145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60678528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440422058105469 × 2 - 1) × π
    0.119155883789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.374339249133019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60678528} λ = 0.60678528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374339249133019))-π/2
    2×atan(1.45403034532819)-π/2
    2×0.968343614063838-π/2
    1.93668722812768-1.57079632675     		φ = 0.36589090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60678528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.766236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36589090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.964004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78194 KachelY 57727 0.60678528 0.36589090 34.766236 20.964004
    Oben rechts KachelX + 1 78195 KachelY 57727 0.60683321 0.36589090 34.768982 20.964004
    Unten links KachelX 78194 KachelY + 1 57728 0.60678528 0.36584614 34.766236 20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 78195 KachelY + 1 57728 0.60683321 0.36584614 34.768982 20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36589090-0.36584614) × R
    4.47600000000326e-05 × 6371000     		dl = 285.165960000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36589090-0.36584614) × R
    4.47600000000326e-05 × 6371000     		dr = 285.165960000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60678528-0.60683321) × cos(0.36589090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933805384371988 × 6371000     		do = 285.148707796935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60678528-0.60683321) × cos(0.36584614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 285.153597668566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36589090)-sin(0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933805384371988-0.933821397730396)×R²
    abs(0.60683321-0.60678528)×1.60133584082844e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60133584082844e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60133584082844e-05×40589641000000     		ar = 81315.4022277986m²