Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78192 / 82101
↖ ↑ ↗
← S 41.354134°
E 34.760742°		 ← 229.26 m → S 41.354134°
E 34.763489°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 41.356196°
E 34.760742°		 ← 229.26 m →
52 553 m²		 S 41.356196°
E 34.763489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596561431884766 y=0.626384735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596561431884766 × 217)
    floor (0.596561431884766 × 131072)
    floor (78192.5)     		tx = 78192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626384735107422 × 217)
    floor (0.626384735107422 × 131072)
    floor (82101.5)     		ty = 82101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78192 / 82101 ti = "17/78192/82101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78192/82101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78192 ÷ 217
    78192 ÷ 131072     		x = 0.5965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82101 ÷ 217
    82101 ÷ 131072     		y = 0.626380920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5965576171875 × 2 - 1) × π
    0.193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60668940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626380920410156 × 2 - 1) × π
    -0.252761840820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.79407474220623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60668940} λ = 0.60668940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79407474220623))-π/2
    2×atan(0.451999257339152)-π/2
    2×0.424515265716634-π/2
    0.849030531433269-1.57079632675     		φ = -0.72176580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60668940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.760742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72176580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.354134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78192 KachelY 82101 0.60668940 -0.72176580 34.760742 -41.354134
    Oben rechts KachelX + 1 78193 KachelY 82101 0.60673734 -0.72176580 34.763489 -41.354134
    Unten links KachelX 78192 KachelY + 1 82102 0.60668940 -0.72180178 34.760742 -41.356196
    Unten rechts KachelX + 1 78193 KachelY + 1 82102 0.60673734 -0.72180178 34.763489 -41.356196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72176580--0.72180178) × R
    3.59799999999355e-05 × 6371000     		dl = 229.228579999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72176580--0.72180178) × R
    3.59799999999355e-05 × 6371000     		dr = 229.228579999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60668940-0.60673734) × cos(-0.72176580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75064021620872 × 6371000     		do = 229.264843509158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60668940-0.60673734) × cos(-0.72180178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750616443334528 × 6371000     		du = 229.257582661466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72176580)-sin(-0.72180178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75064021620872-0.750616443334528)×R²
    abs(0.60673734-0.60668940)×2.3772874191974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3772874191974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3772874191974e-05×40589641000000     		ar = 52553.2223303307m²