Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78190 / 82275
↖ ↑ ↗
← S 41.711880°
E 34.755249°		 ← 227.95 m → S 41.711880°
E 34.757995°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.713930°
E 34.755249°		 ← 227.95 m →
51 962 m²		 S 41.713930°
E 34.757995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596546173095703 y=0.627712249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596546173095703 × 217)
    floor (0.596546173095703 × 131072)
    floor (78190.5)     		tx = 78190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627712249755859 × 217)
    floor (0.627712249755859 × 131072)
    floor (82275.5)     		ty = 82275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78190 / 82275 ti = "17/78190/82275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78190/82275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78190 ÷ 217
    78190 ÷ 131072     		x = 0.596542358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82275 ÷ 217
    82275 ÷ 131072     		y = 0.627708435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596542358398438 × 2 - 1) × π
    0.193084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60659353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627708435058594 × 2 - 1) × π
    -0.255416870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.80241576274012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60659353} λ = 0.60659353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80241576274012))-π/2
    2×atan(0.448244802014113)-π/2
    2×0.421393343710603-π/2
    0.842786687421205-1.57079632675     		φ = -0.72800964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60659353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.755249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72800964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.711880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78190 KachelY 82275 0.60659353 -0.72800964 34.755249 -41.711880
    Oben rechts KachelX + 1 78191 KachelY 82275 0.60664146 -0.72800964 34.757995 -41.711880
    Unten links KachelX 78190 KachelY + 1 82276 0.60659353 -0.72804542 34.755249 -41.713930
    Unten rechts KachelX + 1 78191 KachelY + 1 82276 0.60664146 -0.72804542 34.757995 -41.713930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72800964--0.72804542) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dl = 227.95438000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72800964--0.72804542) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dr = 227.95438000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60659353-0.60664146) × cos(-0.72800964) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.746500236099253 × 6371000     		do = 227.952827490359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60659353-0.60664146) × cos(-0.72804542) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.746476428140762 × 6371000     		du = 227.945557443824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72800964)-sin(-0.72804542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746500236099253-0.746476428140762)×R²
    abs(0.60664146-0.60659353)×2.38079584908846e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38079584908846e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38079584908846e-05×40589641000000     		ar = 51962.0168459378m²