Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7819 / 3189
↖ ↑ ↗
← N 73.296310°
W  8.195801°		 ← 702.25 m → N 73.296310°
W  8.173828°		 →
↑
702.40 m
↓
↑
702.40 m
↓
N 73.289993°
W  8.195801°		 ← 702.51 m →
493 355 m²		 N 73.289993°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477264404296875 y=0.194671630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477264404296875 × 214)
    floor (0.477264404296875 × 16384)
    floor (7819.5)     		tx = 7819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194671630859375 × 214)
    floor (0.194671630859375 × 16384)
    floor (3189.5)     		ty = 3189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7819 / 3189 ti = "14/7819/3189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7819/3189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7819 ÷ 214
    7819 ÷ 16384     		x = 0.47723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3189 ÷ 214
    3189 ÷ 16384     		y = 0.19464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19464111328125 × 2 - 1) × π
    0.6107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91862647039313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14304371} λ = -0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91862647039313))-π/2
    2×atan(6.81159611209524)-π/2
    2×1.42502913232988-π/2
    2.85005826465976-1.57079632675     		φ = 1.27926194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27926194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.296310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7819 KachelY 3189 -0.14304371 1.27926194 -8.195801 73.296310
    Oben rechts KachelX + 1 7820 KachelY 3189 -0.14266021 1.27926194 -8.173828 73.296310
    Unten links KachelX 7819 KachelY + 1 3190 -0.14304371 1.27915169 -8.195801 73.289993
    Unten rechts KachelX + 1 7820 KachelY + 1 3190 -0.14266021 1.27915169 -8.173828 73.289993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27926194-1.27915169) × R
    0.000110250000000089 × 6371000     		dl = 702.40275000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27926194-1.27915169) × R
    0.000110250000000089 × 6371000     		dr = 702.40275000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14304371--0.14266021) × cos(1.27926194) × R
    0.000383499999999981 × 0.287422204662054 × 6371000     		do = 702.252493073362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14304371--0.14266021) × cos(1.27915169) × R
    0.000383499999999981 × 0.287527800804518 × 6371000     		du = 702.510493857927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27926194)-sin(1.27915169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287422204662054-0.287527800804518)×R²
    abs(-0.14266021--0.14304371)×0.000105596142463804×R²
    0.000383499999999981×0.000105596142463804×6371000²
    0.000383499999999981×0.000105596142463804×40589641000000     		ar = 493354.693058917m²