Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78188 / 82277
↖ ↑ ↗
← S 41.715980°
E 34.749756°		 ← 227.99 m → S 41.715980°
E 34.752502°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.718031°
E 34.749756°		 ← 227.98 m →
51 970 m²		 S 41.718031°
E 34.752502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596530914306641 y=0.627727508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596530914306641 × 217)
    floor (0.596530914306641 × 131072)
    floor (78188.5)     		tx = 78188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627727508544922 × 217)
    floor (0.627727508544922 × 131072)
    floor (82277.5)     		ty = 82277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78188 / 82277 ti = "17/78188/82277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78188/82277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78188 ÷ 217
    78188 ÷ 131072     		x = 0.596527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82277 ÷ 217
    82277 ÷ 131072     		y = 0.627723693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596527099609375 × 2 - 1) × π
    0.19305419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60649765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627723693847656 × 2 - 1) × π
    -0.255447387695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.80251163653936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60649765} λ = 0.60649765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80251163653936))-π/2
    2×atan(0.448201829141973)-π/2
    2×0.421357559945118-π/2
    0.842715119890236-1.57079632675     		φ = -0.72808121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60649765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.749756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72808121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.715980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78188 KachelY 82277 0.60649765 -0.72808121 34.749756 -41.715980
    Oben rechts KachelX + 1 78189 KachelY 82277 0.60654559 -0.72808121 34.752502 -41.715980
    Unten links KachelX 78188 KachelY + 1 82278 0.60649765 -0.72811699 34.749756 -41.718031
    Unten rechts KachelX + 1 78189 KachelY + 1 82278 0.60654559 -0.72811699 34.752502 -41.718031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72808121--0.72811699) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dl = 227.954379999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72808121--0.72811699) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dr = 227.954379999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60649765-0.60654559) × cos(-0.72808121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74645261257224 × 6371000     		do = 227.98584156966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60649765-0.60654559) × cos(-0.72811699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746428802702222 × 6371000     		du = 227.978569422491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72808121)-sin(-0.72811699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74645261257224-0.746428802702222)×R²
    abs(0.60654559-0.60649765)×2.38098700181544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38098700181544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38098700181544e-05×40589641000000     		ar = 51969.5423103855m²