Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78187 / 82272
↖ ↑ ↗
← S 41.705729°
E 34.747009°		 ← 227.97 m → S 41.705729°
E 34.749756°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
S 41.707779°
E 34.747009°		 ← 227.97 m →
51 982 m²		 S 41.707779°
E 34.749756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596523284912109 y=0.627689361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596523284912109 × 217)
    floor (0.596523284912109 × 131072)
    floor (78187.5)     		tx = 78187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627689361572266 × 217)
    floor (0.627689361572266 × 131072)
    floor (82272.5)     		ty = 82272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78187 / 82272 ti = "17/78187/82272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78187/82272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78187 ÷ 217
    78187 ÷ 131072     		x = 0.596519470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82272 ÷ 217
    82272 ÷ 131072     		y = 0.627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596519470214844 × 2 - 1) × π
    0.193038940429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.60644972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.25537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80227195204126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60644972} λ = 0.60644972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80227195204126))-π/2
    2×atan(0.448309269047765)-π/2
    2×0.421447023639118-π/2
    0.842894047278235-1.57079632675     		φ = -0.72790228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60644972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.747009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72790228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.705729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78187 KachelY 82272 0.60644972 -0.72790228 34.747009 -41.705729
    Oben rechts KachelX + 1 78188 KachelY 82272 0.60649765 -0.72790228 34.749756 -41.705729
    Unten links KachelX 78187 KachelY + 1 82273 0.60644972 -0.72793807 34.747009 -41.707779
    Unten rechts KachelX + 1 78188 KachelY + 1 82273 0.60649765 -0.72793807 34.749756 -41.707779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72790228--0.72793807) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dl = 228.018089999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72790228--0.72793807) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dr = 228.018089999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60644972-0.60649765) × cos(-0.72790228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746571667546648 × 6371000     		do = 227.974639942669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60644972-0.60649765) × cos(-0.72793807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746547855802494 × 6371000     		du = 227.967368740136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72790228)-sin(-0.72793807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746571667546648-0.746547855802494)×R²
    abs(0.60649765-0.60644972)×2.3811744154667e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3811744154667e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3811744154667e-05×40589641000000     		ar = 51981.5129909223m²