Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78183 / 82119
↖ ↑ ↗
← S 41.391234°
E 34.736023°		 ← 229.13 m → S 41.391234°
E 34.738770°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.393294°
E 34.736023°		 ← 229.13 m →
52 494 m²		 S 41.393294°
E 34.738770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596492767333984 y=0.626522064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596492767333984 × 217)
    floor (0.596492767333984 × 131072)
    floor (78183.5)     		tx = 78183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626522064208984 × 217)
    floor (0.626522064208984 × 131072)
    floor (82119.5)     		ty = 82119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78183 / 82119 ti = "17/78183/82119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78183/82119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78183 ÷ 217
    78183 ÷ 131072     		x = 0.596488952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82119 ÷ 217
    82119 ÷ 131072     		y = 0.626518249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596488952636719 × 2 - 1) × π
    0.192977905273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.60625797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626518249511719 × 2 - 1) × π
    -0.253036499023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.794937606399391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60625797} λ = 0.60625797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794937606399391))-π/2
    2×atan(0.451609411580819)-π/2
    2×0.424191507752316-π/2
    0.848383015504633-1.57079632675     		φ = -0.72241331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60625797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.736023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72241331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.391234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78183 KachelY 82119 0.60625797 -0.72241331 34.736023 -41.391234
    Oben rechts KachelX + 1 78184 KachelY 82119 0.60630591 -0.72241331 34.738770 -41.391234
    Unten links KachelX 78183 KachelY + 1 82120 0.60625797 -0.72244927 34.736023 -41.393294
    Unten rechts KachelX + 1 78184 KachelY + 1 82120 0.60630591 -0.72244927 34.738770 -41.393294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72241331--0.72244927) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dl = 229.101160000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72241331--0.72244927) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dr = 229.101160000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60625797-0.60630591) × cos(-0.72241331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750212241781105 × 6371000     		do = 229.134129102903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60625797-0.60630591) × cos(-0.72244927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750188464648683 × 6371000     		du = 229.126866954638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72241331)-sin(-0.72244927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750212241781105-0.750188464648683)×R²
    abs(0.60630591-0.60625797)×2.37771324216318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37771324216318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37771324216318e-05×40589641000000     		ar = 52494.0628955338m²