Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78181 / 82115
↖ ↑ ↗
← S 41.382991°
E 34.730530°		 ← 229.12 m → S 41.382991°
E 34.733276°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 41.385052°
E 34.730530°		 ← 229.11 m →
52 504 m²		 S 41.385052°
E 34.733276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596477508544922 y=0.626491546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596477508544922 × 217)
    floor (0.596477508544922 × 131072)
    floor (78181.5)     		tx = 78181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626491546630859 × 217)
    floor (0.626491546630859 × 131072)
    floor (82115.5)     		ty = 82115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78181 / 82115 ti = "17/78181/82115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78181/82115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78181 ÷ 217
    78181 ÷ 131072     		x = 0.596473693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82115 ÷ 217
    82115 ÷ 131072     		y = 0.626487731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596473693847656 × 2 - 1) × π
    0.192947387695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60616210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626487731933594 × 2 - 1) × π
    -0.252975463867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.794745858800911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60616210} λ = 0.60616210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794745858800911))-π/2
    2×atan(0.451696014903665)-π/2
    2×0.424263438009511-π/2
    0.848526876019023-1.57079632675     		φ = -0.72226945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60616210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.730530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72226945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.382991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78181 KachelY 82115 0.60616210 -0.72226945 34.730530 -41.382991
    Oben rechts KachelX + 1 78182 KachelY 82115 0.60621003 -0.72226945 34.733276 -41.382991
    Unten links KachelX 78181 KachelY + 1 82116 0.60616210 -0.72230542 34.730530 -41.385052
    Unten rechts KachelX + 1 78182 KachelY + 1 82116 0.60621003 -0.72230542 34.733276 -41.385052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72226945--0.72230542) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72226945--0.72230542) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60616210-0.60621003) × cos(-0.72226945) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.75030735383111 × 6371000     		do = 229.115376689406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60616210-0.60621003) × cos(-0.72230542) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.750283573968714 × 6371000     		du = 229.108115222351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72226945)-sin(-0.72230542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75030735383111-0.750283573968714)×R²
    abs(0.60621003-0.60616210)×2.37798623963226e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37798623963226e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37798623963226e-05×40589641000000     		ar = 52504.3634831549m²