Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7818 / 9532
↖ ↑ ↗
← S 28.226970°
W  8.217773°		 ← 2 152.67 m → S 28.226970°
W  8.195801°		 →
↑
2 152.51 m
↓
↑
2 152.51 m
↓
S 28.246328°
W  8.217773°		 ← 2 152.28 m →
4 633 215 m²		 S 28.246328°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477203369140625 y=0.581817626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477203369140625 × 214)
    floor (0.477203369140625 × 16384)
    floor (7818.5)     		tx = 7818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581817626953125 × 214)
    floor (0.581817626953125 × 16384)
    floor (9532.5)     		ty = 9532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7818 / 9532 ti = "14/7818/9532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7818/9532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7818 ÷ 214
    7818 ÷ 16384     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9532 ÷ 214
    9532 ÷ 16384     		y = 0.581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513883563927002))-π/2
    2×atan(0.598168038345507)-π/2
    2×0.53907138088346-π/2
    1.07814276176692-1.57079632675     		φ = -0.49265356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49265356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7818 KachelY 9532 -0.14342720 -0.49265356 -8.217773 -28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 7819 KachelY 9532 -0.14304371 -0.49265356 -8.195801 -28.226970
    Unten links KachelX 7818 KachelY + 1 9533 -0.14342720 -0.49299142 -8.217773 -28.246328
    Unten rechts KachelX + 1 7819 KachelY + 1 9533 -0.14304371 -0.49299142 -8.195801 -28.246328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49265356--0.49299142) × R
    0.000337860000000023 × 6371000     		dl = 2152.50606000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49265356--0.49299142) × R
    0.000337860000000023 × 6371000     		dr = 2152.50606000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14304371) × cos(-0.49265356) × R
    0.000383490000000014 × 0.881080919624945 × 6371000     		do = 2152.66993401455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14304371) × cos(-0.49299142) × R
    0.000383490000000014 × 0.880921073199276 × 6371000     		du = 2152.27939486322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49265356)-sin(-0.49299142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881080919624945-0.880921073199276)×R²
    abs(-0.14304371--0.14342720)×0.00015984642566913×R²
    0.000383490000000014×0.00015984642566913×6371000²
    0.000383490000000014×0.00015984642566913×40589641000000     		ar = 4633214.80327491m²