Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7818 / 4970
↖ ↑ ↗
← N 57.586559°
W  8.217773°		 ← 1 309.62 m → N 57.586559°
W  8.195801°		 →
↑
1 309.88 m
↓
↑
1 309.88 m
↓
N 57.574779°
W  8.217773°		 ← 1 310.05 m →
1 715 725 m²		 N 57.574779°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477203369140625 y=0.303375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477203369140625 × 214)
    floor (0.477203369140625 × 16384)
    floor (7818.5)     		tx = 7818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303375244140625 × 214)
    floor (0.303375244140625 × 16384)
    floor (4970.5)     		ty = 4970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7818 / 4970 ti = "14/7818/4970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7818/4970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7818 ÷ 214
    7818 ÷ 16384     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4970 ÷ 214
    4970 ÷ 16384     		y = 0.3033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3033447265625 × 2 - 1) × π
    0.393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23562152460657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23562152460657))-π/2
    2×atan(3.44051622181054)-π/2
    2×1.28793569194199-π/2
    2.57587138388399-1.57079632675     		φ = 1.00507506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00507506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.586559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7818 KachelY 4970 -0.14342720 1.00507506 -8.217773 57.586559
    Oben rechts KachelX + 1 7819 KachelY 4970 -0.14304371 1.00507506 -8.195801 57.586559
    Unten links KachelX 7818 KachelY + 1 4971 -0.14342720 1.00486946 -8.217773 57.574779
    Unten rechts KachelX + 1 7819 KachelY + 1 4971 -0.14304371 1.00486946 -8.195801 57.574779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00507506-1.00486946) × R
    0.000205599999999917 × 6371000     		dl = 1309.87759999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00507506-1.00486946) × R
    0.000205599999999917 × 6371000     		dr = 1309.87759999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14304371) × cos(1.00507506) × R
    0.000383490000000014 × 0.536024850402647 × 6371000     		do = 1309.62384231133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14304371) × cos(1.00486946) × R
    0.000383490000000014 × 0.536198407045136 × 6371000     		du = 1310.04787846716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00507506)-sin(1.00486946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536024850402647-0.536198407045136)×R²
    abs(-0.14304371--0.14342720)×0.000173556642488637×R²
    0.000383490000000014×0.000173556642488637×6371000²
    0.000383490000000014×0.000173556642488637×40589641000000     		ar = 1715724.65924378m²