Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7818 / 3199
↖ ↑ ↗
← N 73.233039°
W  8.217773°		 ← 704.82 m → N 73.233039°
W  8.195801°		 →
↑
704.95 m
↓
↑
704.95 m
↓
N 73.226700°
W  8.217773°		 ← 705.08 m →
496 953 m²		 N 73.226700°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477203369140625 y=0.195281982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477203369140625 × 214)
    floor (0.477203369140625 × 16384)
    floor (7818.5)     		tx = 7818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195281982421875 × 214)
    floor (0.195281982421875 × 16384)
    floor (3199.5)     		ty = 3199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7818 / 3199 ti = "14/7818/3199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7818/3199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7818 ÷ 214
    7818 ÷ 16384     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3199 ÷ 214
    3199 ÷ 16384     		y = 0.19525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19525146484375 × 2 - 1) × π
    0.6094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91479151842352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91479151842352))-π/2
    2×atan(6.78552399278489)-π/2
    2×1.42447699384486-π/2
    2.84895398768972-1.57079632675     		φ = 1.27815766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27815766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.233039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7818 KachelY 3199 -0.14342720 1.27815766 -8.217773 73.233039
    Oben rechts KachelX + 1 7819 KachelY 3199 -0.14304371 1.27815766 -8.195801 73.233039
    Unten links KachelX 7818 KachelY + 1 3200 -0.14342720 1.27804701 -8.217773 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 7819 KachelY + 1 3200 -0.14304371 1.27804701 -8.195801 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27815766-1.27804701) × R
    0.000110649999999879 × 6371000     		dl = 704.951149999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27815766-1.27804701) × R
    0.000110649999999879 × 6371000     		dr = 704.951149999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14304371) × cos(1.27815766) × R
    0.000383490000000014 × 0.288479712986905 × 6371000     		do = 704.817901384588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14304371) × cos(1.27804701) × R
    0.000383490000000014 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 705.076745480263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27815766)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288479712986905-0.288585657047466)×R²
    abs(-0.14304371--0.14342720)×0.000105944060560859×R²
    0.000383490000000014×0.000105944060560859×6371000²
    0.000383490000000014×0.000105944060560859×40589641000000     		ar = 496953.426850114m²