Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78179 / 82286
↖ ↑ ↗
← S 41.734429°
E 34.725037°		 ← 227.92 m → S 41.734429°
E 34.727783°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.736479°
E 34.725037°		 ← 227.91 m →
51 955 m²		 S 41.736479°
E 34.727783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596462249755859 y=0.627796173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596462249755859 × 217)
    floor (0.596462249755859 × 131072)
    floor (78179.5)     		tx = 78179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627796173095703 × 217)
    floor (0.627796173095703 × 131072)
    floor (82286.5)     		ty = 82286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78179 / 82286 ti = "17/78179/82286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78179/82286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78179 ÷ 217
    78179 ÷ 131072     		x = 0.596458435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82286 ÷ 217
    82286 ÷ 131072     		y = 0.627792358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596458435058594 × 2 - 1) × π
    0.192916870117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.60606622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627792358398438 × 2 - 1) × π
    -0.255584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.802943068635941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60606622} λ = 0.60606622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.802943068635941))-π/2
    2×atan(0.448008502193859)-π/2
    2×0.421196561251425-π/2
    0.84239312250285-1.57079632675     		φ = -0.72840320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60606622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.725037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72840320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.734429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78179 KachelY 82286 0.60606622 -0.72840320 34.725037 -41.734429
    Oben rechts KachelX + 1 78180 KachelY 82286 0.60611416 -0.72840320 34.727783 -41.734429
    Unten links KachelX 78179 KachelY + 1 82287 0.60606622 -0.72843898 34.725037 -41.736479
    Unten rechts KachelX + 1 78180 KachelY + 1 82287 0.60611416 -0.72843898 34.727783 -41.736479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72840320--0.72843898) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dl = 227.954379999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72840320--0.72843898) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dr = 227.954379999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60606622-0.60611416) × cos(-0.72840320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746238309313965 × 6371000     		do = 227.920387838417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60606622-0.60611416) × cos(-0.72843898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746214490845586 × 6371000     		du = 227.913113065087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72840320)-sin(-0.72843898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746238309313965-0.746214490845586)×R²
    abs(0.60611416-0.60606622)×2.38184683793996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38184683793996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38184683793996e-05×40589641000000     		ar = 51954.6215461213m²