Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7817 / 9577
↖ ↑ ↗
← S 29.094577°
W  8.239746°		 ← 2 134.98 m → S 29.094577°
W  8.217773°		 →
↑
2 134.79 m
↓
↑
2 134.79 m
↓
S 29.113775°
W  8.239746°		 ← 2 134.58 m →
4 557 322 m²		 S 29.113775°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477142333984375 y=0.584564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477142333984375 × 214)
    floor (0.477142333984375 × 16384)
    floor (7817.5)     		tx = 7817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584564208984375 × 214)
    floor (0.584564208984375 × 16384)
    floor (9577.5)     		ty = 9577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7817 / 9577 ti = "14/7817/9577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7817/9577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7817 ÷ 214
    7817 ÷ 16384     		x = 0.47711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9577 ÷ 214
    9577 ÷ 16384     		y = 0.58453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.1690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14381070} λ = -0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531140847790222))-π/2
    2×atan(0.587933843898356)-π/2
    2×0.531500081165156-π/2
    1.06300016233031-1.57079632675     		φ = -0.50779616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50779616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.094577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7817 KachelY 9577 -0.14381070 -0.50779616 -8.239746 -29.094577
    Oben rechts KachelX + 1 7818 KachelY 9577 -0.14342720 -0.50779616 -8.217773 -29.094577
    Unten links KachelX 7817 KachelY + 1 9578 -0.14381070 -0.50813124 -8.239746 -29.113775
    Unten rechts KachelX + 1 7818 KachelY + 1 9578 -0.14342720 -0.50813124 -8.217773 -29.113775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50779616--0.50813124) × R
    0.000335079999999932 × 6371000     		dl = 2134.79467999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50779616--0.50813124) × R
    0.000335079999999932 × 6371000     		dr = 2134.79467999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14381070--0.14342720) × cos(-0.50779616) × R
    0.000383500000000009 × 0.873818251898395 × 6371000     		do = 2134.98134777098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14381070--0.14342720) × cos(-0.50813124) × R
    0.000383500000000009 × 0.873655269300004 × 6371000     		du = 2134.58313589246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50779616)-sin(-0.50813124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873818251898395-0.873655269300004)×R²
    abs(-0.14342720--0.14381070)×0.000162982598390982×R²
    0.000383500000000009×0.000162982598390982×6371000²
    0.000383500000000009×0.000162982598390982×40589641000000     		ar = 4557321.81546057m²