Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78164 / 82204
↖ ↑ ↗
← S 41.566142°
E 34.683838°		 ← 228.52 m → S 41.566142°
E 34.686585°		 →
↑
228.53 m
↓
↑
228.53 m
↓
S 41.568197°
E 34.683838°		 ← 228.51 m →
52 222 m²		 S 41.568197°
E 34.686585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596347808837891 y=0.627170562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596347808837891 × 217)
    floor (0.596347808837891 × 131072)
    floor (78164.5)     		tx = 78164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627170562744141 × 217)
    floor (0.627170562744141 × 131072)
    floor (82204.5)     		ty = 82204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78164 / 82204 ti = "17/78164/82204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78164/82204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78164 ÷ 217
    78164 ÷ 131072     		x = 0.596343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82204 ÷ 217
    82204 ÷ 131072     		y = 0.627166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596343994140625 × 2 - 1) × π
    0.19268798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60534717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.25433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.799012242867096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60534717} λ = 0.60534717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799012242867096))-π/2
    2×atan(0.449773011275819)-π/2
    2×0.422665146087695-π/2
    0.84533029217539-1.57079632675     		φ = -0.72546603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60534717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.683838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72546603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.566142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78164 KachelY 82204 0.60534717 -0.72546603 34.683838 -41.566142
    Oben rechts KachelX + 1 78165 KachelY 82204 0.60539511 -0.72546603 34.686585 -41.566142
    Unten links KachelX 78164 KachelY + 1 82205 0.60534717 -0.72550190 34.683838 -41.568197
    Unten rechts KachelX + 1 78165 KachelY + 1 82205 0.60539511 -0.72550190 34.686585 -41.568197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72546603--0.72550190) × R
    3.58700000000489e-05 × 6371000     		dl = 228.527770000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72546603--0.72550190) × R
    3.58700000000489e-05 × 6371000     		dr = 228.527770000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60534717-0.60539511) × cos(-0.72546603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748190299685974 × 6371000     		do = 228.516575942261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60534717-0.60539511) × cos(-0.72550190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748166500026615 × 6371000     		du = 228.509306913689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72546603)-sin(-0.72550190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748190299685974-0.748166500026615)×R²
    abs(0.60539511-0.60534717)×2.37996593595025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37996593595025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37996593595025e-05×40589641000000     		ar = 52221.5529264582m²