Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7816 / 4366
↖ ↑ ↗
← N 64.033744°
W  8.261719°		 ← 1 069.74 m → N 64.033744°
W  8.239746°		 →
↑
1 069.95 m
↓
↑
1 069.95 m
↓
N 64.024121°
W  8.261719°		 ← 1 070.11 m →
1 144 763 m²		 N 64.024121°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477081298828125 y=0.266510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477081298828125 × 214)
    floor (0.477081298828125 × 16384)
    floor (7816.5)     		tx = 7816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266510009765625 × 214)
    floor (0.266510009765625 × 16384)
    floor (4366.5)     		ty = 4366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7816 / 4366 ti = "14/7816/4366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7816/4366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7816 ÷ 214
    7816 ÷ 16384     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4366 ÷ 214
    4366 ÷ 16384     		y = 0.2664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2664794921875 × 2 - 1) × π
    0.467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46725262357068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46725262357068))-π/2
    2×atan(4.33730255411035)-π/2
    2×1.34419799529511-π/2
    2.68839599059022-1.57079632675     		φ = 1.11759966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11759966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.033744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7816 KachelY 4366 -0.14419419 1.11759966 -8.261719 64.033744
    Oben rechts KachelX + 1 7817 KachelY 4366 -0.14381070 1.11759966 -8.239746 64.033744
    Unten links KachelX 7816 KachelY + 1 4367 -0.14419419 1.11743172 -8.261719 64.024121
    Unten rechts KachelX + 1 7817 KachelY + 1 4367 -0.14381070 1.11743172 -8.239746 64.024121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11759966-1.11743172) × R
    0.000167940000000089 × 6371000     		dl = 1069.94574000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11759966-1.11743172) × R
    0.000167940000000089 × 6371000     		dr = 1069.94574000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14381070) × cos(1.11759966) × R
    0.000383489999999986 × 0.437841736176989 × 6371000     		do = 1069.74140550686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14381070) × cos(1.11743172) × R
    0.000383489999999986 × 0.437992716805524 × 6371000     		du = 1070.1102836115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11759966)-sin(1.11743172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437841736176989-0.437992716805524)×R²
    abs(-0.14381070--0.14419419)×0.000150980628534636×R²
    0.000383489999999986×0.000150980628534636×6371000²
    0.000383489999999986×0.000150980628534636×40589641000000     		ar = 1144762.60219236m²