Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7816 / 3188
↖ ↑ ↗
← N 73.302624°
W  8.261719°		 ← 701.98 m → N 73.302624°
W  8.239746°		 →
↑
702.08 m
↓
↑
702.08 m
↓
N 73.296310°
W  8.261719°		 ← 702.23 m →
492 937 m²		 N 73.296310°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477081298828125 y=0.194610595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477081298828125 × 214)
    floor (0.477081298828125 × 16384)
    floor (7816.5)     		tx = 7816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194610595703125 × 214)
    floor (0.194610595703125 × 16384)
    floor (3188.5)     		ty = 3188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7816 / 3188 ti = "14/7816/3188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7816/3188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7816 ÷ 214
    7816 ÷ 16384     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3188 ÷ 214
    3188 ÷ 16384     		y = 0.194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194580078125 × 2 - 1) × π
    0.61083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91900996559009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91900996559009))-π/2
    2×atan(6.81420882743773)-π/2
    2×1.42508423472711-π/2
    2.85016846945423-1.57079632675     		φ = 1.27937214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27937214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.302624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7816 KachelY 3188 -0.14419419 1.27937214 -8.261719 73.302624
    Oben rechts KachelX + 1 7817 KachelY 3188 -0.14381070 1.27937214 -8.239746 73.302624
    Unten links KachelX 7816 KachelY + 1 3189 -0.14419419 1.27926194 -8.261719 73.296310
    Unten rechts KachelX + 1 7817 KachelY + 1 3189 -0.14381070 1.27926194 -8.239746 73.296310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27937214-1.27926194) × R
    0.000110199999999949 × 6371000     		dl = 702.084199999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27937214-1.27926194) × R
    0.000110199999999949 × 6371000     		dr = 702.084199999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14381070) × cos(1.27937214) × R
    0.000383489999999986 × 0.287316652917739 × 6371000     		do = 701.976295821891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14381070) × cos(1.27926194) × R
    0.000383489999999986 × 0.287422204662054 × 6371000     		du = 702.234181404713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27937214)-sin(1.27926194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287316652917739-0.287422204662054)×R²
    abs(-0.14381070--0.14419419)×0.000105551744315424×R²
    0.000383489999999986×0.000105551744315424×6371000²
    0.000383489999999986×0.000105551744315424×40589641000000     		ar = 492936.995266279m²