Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7816 / 10808
↖ ↑ ↗
← N 76.111349°
W137.065430°		 ← 146.63 m → N 76.111349°
W137.059936°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
N 76.110030°
W137.065430°		 ← 146.64 m →
21 505 m²		 N 76.110030°
W137.059936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119270324707031 y=0.164924621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119270324707031 × 216)
    floor (0.119270324707031 × 65536)
    floor (7816.5)     		tx = 7816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164924621582031 × 216)
    floor (0.164924621582031 × 65536)
    floor (10808.5)     		ty = 10808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7816 / 10808 ti = "16/7816/10808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7816/10808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7816 ÷ 216
    7816 ÷ 65536     		x = 0.1192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10808 ÷ 216
    10808 ÷ 65536     		y = 0.1649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39224304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1649169921875 × 2 - 1) × π
    0.670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10538863131287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39224304} λ = -2.39224304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10538863131287))-π/2
    2×atan(8.21029316667057)-π/2
    2×1.44959497761654-π/2
    2.89918995523307-1.57079632675     		φ = 1.32839363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39224304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32839363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.111349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7816 KachelY 10808 -2.39224304 1.32839363 -137.065430 76.111349
    Oben rechts KachelX + 1 7817 KachelY 10808 -2.39214716 1.32839363 -137.059936 76.111349
    Unten links KachelX 7816 KachelY + 1 10809 -2.39224304 1.32837061 -137.065430 76.110030
    Unten rechts KachelX + 1 7817 KachelY + 1 10809 -2.39214716 1.32837061 -137.059936 76.110030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32839363-1.32837061) × R
    2.30200000002068e-05 × 6371000     		dl = 146.660420001317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32839363-1.32837061) × R
    2.30200000002068e-05 × 6371000     		dr = 146.660420001317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39224304--2.39214716) × cos(1.32839363) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.240035768697975 × 6371000     		do = 146.626204562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39224304--2.39214716) × cos(1.32837061) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.240058115622674 × 6371000     		du = 146.639855214025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32839363)-sin(1.32837061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240035768697975-0.240058115622674)×R²
    abs(-2.39214716--2.39224304)×2.23469246985741e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.23469246985741e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.23469246985741e-05×40589641000000     		ar = 21505.2617505684m²