Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78150 / 84282
↖ ↑ ↗
← S 45.694670°
E 34.645386°		 ← 213.33 m → S 45.694670°
E 34.648132°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 45.696588°
E 34.645386°		 ← 213.33 m →
45 504 m²		 S 45.696588°
E 34.648132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596240997314453 y=0.643024444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596240997314453 × 217)
    floor (0.596240997314453 × 131072)
    floor (78150.5)     		tx = 78150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643024444580078 × 217)
    floor (0.643024444580078 × 131072)
    floor (84282.5)     		ty = 84282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78150 / 84282 ti = "17/78150/84282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78150/84282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78150 ÷ 217
    78150 ÷ 131072     		x = 0.596237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84282 ÷ 217
    84282 ÷ 131072     		y = 0.643020629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596237182617188 × 2 - 1) × π
    0.192474365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60467605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.286041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.898625120277573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60467605} λ = 0.60467605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898625120277573))-π/2
    2×atan(0.407129028565844)-π/2
    2×0.386636943715588-π/2
    0.773273887431175-1.57079632675     		φ = -0.79752244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60467605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.645386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79752244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.694670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78150 KachelY 84282 0.60467605 -0.79752244 34.645386 -45.694670
    Oben rechts KachelX + 1 78151 KachelY 84282 0.60472399 -0.79752244 34.648132 -45.694670
    Unten links KachelX 78150 KachelY + 1 84283 0.60467605 -0.79755592 34.645386 -45.696588
    Unten rechts KachelX + 1 78151 KachelY + 1 84283 0.60472399 -0.79755592 34.648132 -45.696588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79752244--0.79755592) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79752244--0.79755592) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60467605-0.60472399) × cos(-0.79752244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698481861987933 × 6371000     		do = 213.334339574103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60467605-0.60472399) × cos(-0.79755592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698457902379122 × 6371000     		du = 213.327021692851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79752244)-sin(-0.79755592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698481861987933-0.698457902379122)×R²
    abs(0.60472399-0.60467605)×2.39596088117411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39596088117411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39596088117411e-05×40589641000000     		ar = 45503.6645804147m²