Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7815 / 4364
↖ ↑ ↗
← N 64.052978°
W  8.283691°		 ← 1 069.03 m → N 64.052978°
W  8.261719°		 →
↑
1 069.18 m
↓
↑
1 069.18 m
↓
N 64.043363°
W  8.283691°		 ← 1 069.40 m →
1 143 186 m²		 N 64.043363°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477020263671875 y=0.266387939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477020263671875 × 214)
    floor (0.477020263671875 × 16384)
    floor (7815.5)     		tx = 7815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266387939453125 × 214)
    floor (0.266387939453125 × 16384)
    floor (4364.5)     		ty = 4364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7815 / 4364 ti = "14/7815/4364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7815/4364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7815 ÷ 214
    7815 ÷ 16384     		x = 0.47698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4364 ÷ 214
    4364 ÷ 16384     		y = 0.266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266357421875 × 2 - 1) × π
    0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14457769} λ = -0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4680196139646))-π/2
    2×atan(4.34063049959284)-π/2
    2×1.34436584761437-π/2
    2.68873169522873-1.57079632675     		φ = 1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7815 KachelY 4364 -0.14457769 1.11793537 -8.283691 64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 7816 KachelY 4364 -0.14419419 1.11793537 -8.261719 64.052978
    Unten links KachelX 7815 KachelY + 1 4365 -0.14457769 1.11776755 -8.283691 64.043363
    Unten rechts KachelX + 1 7816 KachelY + 1 4365 -0.14419419 1.11776755 -8.261719 64.043363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11793537-1.11776755) × R
    0.000167820000000152 × 6371000     		dl = 1069.18122000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11793537-1.11776755) × R
    0.000167820000000152 × 6371000     		dr = 1069.18122000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14457769--0.14419419) × cos(1.11793537) × R
    0.000383500000000009 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 1069.03180794122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14457769--0.14419419) × cos(1.11776755) × R
    0.000383500000000009 × 0.437690788155913 × 6371000     		du = 1069.40049234942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11793537)-sin(1.11776755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.437690788155913)×R²
    abs(-0.14419419--0.14457769)×0.000150897414357754×R²
    0.000383500000000009×0.000150897414357754×6371000²
    0.000383500000000009×0.000150897414357754×40589641000000     		ar = 1143185.83053922m²