Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7815 / 3193
↖ ↑ ↗
← N 73.271029°
W  8.283691°		 ← 703.28 m → N 73.271029°
W  8.261719°		 →
↑
703.36 m
↓
↑
703.36 m
↓
N 73.264704°
W  8.283691°		 ← 703.54 m →
494 752 m²		 N 73.264704°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477020263671875 y=0.194915771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477020263671875 × 214)
    floor (0.477020263671875 × 16384)
    floor (7815.5)     		tx = 7815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194915771484375 × 214)
    floor (0.194915771484375 × 16384)
    floor (3193.5)     		ty = 3193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7815 / 3193 ti = "14/7815/3193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7815/3193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7815 ÷ 214
    7815 ÷ 16384     		x = 0.47698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3193 ÷ 214
    3193 ÷ 16384     		y = 0.19488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19488525390625 × 2 - 1) × π
    0.6102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91709248960529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14457769} λ = -0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91709248960529))-π/2
    2×atan(6.80115526460184)-π/2
    2×1.42480852023769-π/2
    2.84961704047538-1.57079632675     		φ = 1.27882071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27882071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.271029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7815 KachelY 3193 -0.14457769 1.27882071 -8.283691 73.271029
    Oben rechts KachelX + 1 7816 KachelY 3193 -0.14419419 1.27882071 -8.261719 73.271029
    Unten links KachelX 7815 KachelY + 1 3194 -0.14457769 1.27871031 -8.283691 73.264704
    Unten rechts KachelX + 1 7816 KachelY + 1 3194 -0.14419419 1.27871031 -8.261719 73.264704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27882071-1.27871031) × R
    0.000110400000000066 × 6371000     		dl = 703.35840000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27882071-1.27871031) × R
    0.000110400000000066 × 6371000     		dr = 703.35840000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14457769--0.14419419) × cos(1.27882071) × R
    0.000383500000000009 × 0.287844788522999 × 6371000     		do = 703.284983135307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14457769--0.14419419) × cos(1.27871031) × R
    0.000383500000000009 × 0.287950514317585 × 6371000     		du = 703.543300696114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27882071)-sin(1.27871031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287844788522999-0.287950514317585)×R²
    abs(-0.14419419--0.14457769)×0.000105725794585787×R²
    0.000383500000000009×0.000105725794585787×6371000²
    0.000383500000000009×0.000105725794585787×40589641000000     		ar = 494752.245897894m²