Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78147 / 82104
↖ ↑ ↗
← S 41.360319°
E 34.637146°		 ← 229.24 m → S 41.360319°
E 34.639893°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 41.362380°
E 34.637146°		 ← 229.24 m →
52 548 m²		 S 41.362380°
E 34.639893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596218109130859 y=0.626407623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596218109130859 × 217)
    floor (0.596218109130859 × 131072)
    floor (78147.5)     		tx = 78147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626407623291016 × 217)
    floor (0.626407623291016 × 131072)
    floor (82104.5)     		ty = 82104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78147 / 82104 ti = "17/78147/82104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78147/82104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78147 ÷ 217
    78147 ÷ 131072     		x = 0.596214294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82104 ÷ 217
    82104 ÷ 131072     		y = 0.62640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596214294433594 × 2 - 1) × π
    0.192428588867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.60453224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.2528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79421855290509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60453224} λ = 0.60453224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79421855290509))-π/2
    2×atan(0.45193425968386)-π/2
    2×0.424461293233677-π/2
    0.848922586467355-1.57079632675     		φ = -0.72187374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60453224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.637146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72187374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.360319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78147 KachelY 82104 0.60453224 -0.72187374 34.637146 -41.360319
    Oben rechts KachelX + 1 78148 KachelY 82104 0.60458018 -0.72187374 34.639893 -41.360319
    Unten links KachelX 78147 KachelY + 1 82105 0.60453224 -0.72190972 34.637146 -41.362380
    Unten rechts KachelX + 1 78148 KachelY + 1 82105 0.60458018 -0.72190972 34.639893 -41.362380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72187374--0.72190972) × R
    3.59799999999355e-05 × 6371000     		dl = 229.228579999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72187374--0.72190972) × R
    3.59799999999355e-05 × 6371000     		dr = 229.228579999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60453224-0.60458018) × cos(-0.72187374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750568894671019 × 6371000     		do = 229.243060075728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60453224-0.60458018) × cos(-0.72190972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750545118881765 × 6371000     		du = 229.235798337701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72187374)-sin(-0.72190972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750568894671019-0.750545118881765)×R²
    abs(0.60458018-0.60453224)×2.37757892546098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37757892546098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37757892546098e-05×40589641000000     		ar = 52548.2288425683m²