Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78145 / 82266
↖ ↑ ↗
← S 41.693424°
E 34.631653°		 ← 228.02 m → S 41.693424°
E 34.634399°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
S 41.695475°
E 34.631653°		 ← 228.01 m →
51 991 m²		 S 41.695475°
E 34.634399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596202850341797 y=0.627643585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596202850341797 × 217)
    floor (0.596202850341797 × 131072)
    floor (78145.5)     		tx = 78145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627643585205078 × 217)
    floor (0.627643585205078 × 131072)
    floor (82266.5)     		ty = 82266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78145 / 82266 ti = "17/78145/82266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78145/82266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78145 ÷ 217
    78145 ÷ 131072     		x = 0.596199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82266 ÷ 217
    82266 ÷ 131072     		y = 0.627639770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596199035644531 × 2 - 1) × π
    0.192398071289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.60443637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.255279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.801984330643539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60443637} λ = 0.60443637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801984330643539))-π/2
    2×atan(0.448438230931549)-π/2
    2×0.421554398904718-π/2
    0.843108797809437-1.57079632675     		φ = -0.72768753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60443637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.631653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72768753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.693424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78145 KachelY 82266 0.60443637 -0.72768753 34.631653 -41.693424
    Oben rechts KachelX + 1 78146 KachelY 82266 0.60448430 -0.72768753 34.634399 -41.693424
    Unten links KachelX 78145 KachelY + 1 82267 0.60443637 -0.72772332 34.631653 -41.695475
    Unten rechts KachelX + 1 78146 KachelY + 1 82267 0.60448430 -0.72772332 34.634399 -41.695475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72768753--0.72772332) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dl = 228.018089999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72768753--0.72772332) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dr = 228.018089999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60443637-0.60448430) × cos(-0.72768753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746714524579621 × 6371000     		do = 228.018263056258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60443637-0.60448430) × cos(-0.72772332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746690718574001 × 6371000     		du = 228.010993606055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72768753)-sin(-0.72772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746714524579621-0.746690718574001)×R²
    abs(0.60448430-0.60443637)×2.38060056201306e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38060056201306e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38060056201306e-05×40589641000000     		ar = 51991.4600496183m²