Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78145 / 82106
↖ ↑ ↗
← S 41.364442°
E 34.631653°		 ← 229.18 m → S 41.364442°
E 34.634399°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 41.366503°
E 34.631653°		 ← 229.17 m →
52 519 m²		 S 41.366503°
E 34.634399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596202850341797 y=0.626422882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596202850341797 × 217)
    floor (0.596202850341797 × 131072)
    floor (78145.5)     		tx = 78145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626422882080078 × 217)
    floor (0.626422882080078 × 131072)
    floor (82106.5)     		ty = 82106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78145 / 82106 ti = "17/78145/82106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78145/82106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78145 ÷ 217
    78145 ÷ 131072     		x = 0.596199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82106 ÷ 217
    82106 ÷ 131072     		y = 0.626419067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596199035644531 × 2 - 1) × π
    0.192398071289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.60443637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626419067382812 × 2 - 1) × π
    -0.252838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.794314426704331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60443637} λ = 0.60443637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794314426704331))-π/2
    2×atan(0.451890933106353)-π/2
    2×0.424425314427646-π/2
    0.848850628855291-1.57079632675     		φ = -0.72194570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60443637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.631653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72194570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.364442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78145 KachelY 82106 0.60443637 -0.72194570 34.631653 -41.364442
    Oben rechts KachelX + 1 78146 KachelY 82106 0.60448430 -0.72194570 34.634399 -41.364442
    Unten links KachelX 78145 KachelY + 1 82107 0.60443637 -0.72198167 34.631653 -41.366503
    Unten rechts KachelX + 1 78146 KachelY + 1 82107 0.60448430 -0.72198167 34.634399 -41.366503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72194570--0.72198167) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72194570--0.72198167) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60443637-0.60448430) × cos(-0.72194570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750521342120884 × 6371000     		do = 229.180720588498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60443637-0.60448430) × cos(-0.72198167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.75049757099714 × 6371000     		du = 229.173461789896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72194570)-sin(-0.72198167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750521342120884-0.75049757099714)×R²
    abs(0.60448430-0.60443637)×2.37711237438543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37711237438543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37711237438543e-05×40589641000000     		ar = 52519.3383149523m²