Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7814 / 9865
↖ ↑ ↗
← S 34.470335°
W  8.305664°		 ← 2 014.23 m → S 34.470335°
W  8.283691°		 →
↑
2 014.06 m
↓
↑
2 014.06 m
↓
S 34.488448°
W  8.305664°		 ← 2 013.80 m →
4 056 355 m²		 S 34.488448°
W  8.283691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476959228515625 y=0.602142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476959228515625 × 214)
    floor (0.476959228515625 × 16384)
    floor (7814.5)     		tx = 7814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602142333984375 × 214)
    floor (0.602142333984375 × 16384)
    floor (9865.5)     		ty = 9865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7814 / 9865 ti = "14/7814/9865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7814/9865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7814 ÷ 214
    7814 ÷ 16384     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9865 ÷ 214
    9865 ÷ 16384     		y = 0.60211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.641587464514832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641587464514832))-π/2
    2×atan(0.526456030079455)-π/2
    2×0.484587742339465-π/2
    0.969175484678931-1.57079632675     		φ = -0.60162084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60162084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.470335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7814 KachelY 9865 -0.14496118 -0.60162084 -8.305664 -34.470335
    Oben rechts KachelX + 1 7815 KachelY 9865 -0.14457769 -0.60162084 -8.283691 -34.470335
    Unten links KachelX 7814 KachelY + 1 9866 -0.14496118 -0.60193697 -8.305664 -34.488448
    Unten rechts KachelX + 1 7815 KachelY + 1 9866 -0.14457769 -0.60193697 -8.283691 -34.488448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60162084--0.60193697) × R
    0.00031612999999997 × 6371000     		dl = 2014.06422999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60162084--0.60193697) × R
    0.00031612999999997 × 6371000     		dr = 2014.06422999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14457769) × cos(-0.60162084) × R
    0.000383489999999986 × 0.824419336075258 × 6371000     		do = 2014.23351506098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14457769) × cos(-0.60193697) × R
    0.000383489999999986 × 0.824240371793507 × 6371000     		du = 2013.79626688092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60162084)-sin(-0.60193697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824419336075258-0.824240371793507)×R²
    abs(-0.14457769--0.14496118)×0.000178964281751015×R²
    0.000383489999999986×0.000178964281751015×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178964281751015×40589641000000     		ar = 4056355.38437395m²