Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78132 / 82228
↖ ↑ ↗
← S 41.615442°
E 34.595947°		 ← 228.29 m → S 41.615442°
E 34.598694°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.617496°
E 34.595947°		 ← 228.29 m →
52 127 m²		 S 41.617496°
E 34.598694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596103668212891 y=0.627353668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596103668212891 × 217)
    floor (0.596103668212891 × 131072)
    floor (78132.5)     		tx = 78132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627353668212891 × 217)
    floor (0.627353668212891 × 131072)
    floor (82228.5)     		ty = 82228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78132 / 82228 ti = "17/78132/82228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78132/82228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78132 ÷ 217
    78132 ÷ 131072     		x = 0.596099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82228 ÷ 217
    82228 ÷ 131072     		y = 0.627349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596099853515625 × 2 - 1) × π
    0.19219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60381319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.25469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800162728457977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60381319} λ = 0.60381319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800162728457977))-π/2
    2×atan(0.449255851456683)-π/2
    2×0.422234919286253-π/2
    0.844469838572507-1.57079632675     		φ = -0.72632649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60381319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72632649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.615442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78132 KachelY 82228 0.60381319 -0.72632649 34.595947 -41.615442
    Oben rechts KachelX + 1 78133 KachelY 82228 0.60386112 -0.72632649 34.598694 -41.615442
    Unten links KachelX 78132 KachelY + 1 82229 0.60381319 -0.72636233 34.595947 -41.617496
    Unten rechts KachelX + 1 78133 KachelY + 1 82229 0.60386112 -0.72636233 34.598694 -41.617496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72632649--0.72636233) × R
    3.58399999998982e-05 × 6371000     		dl = 228.336639999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72632649--0.72636233) × R
    3.58399999998982e-05 × 6371000     		dr = 228.336639999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60381319-0.60386112) × cos(-0.72632649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747619121170185 × 6371000     		do = 228.294492507483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60381319-0.60386112) × cos(-0.72636233) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747595318351973 × 6371000     		du = 228.287224030594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72632649)-sin(-0.72636233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747619121170185-0.747595318351973)×R²
    abs(0.60386112-0.60381319)×2.38028182119043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38028182119043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38028182119043e-05×40589641000000     		ar = 52127.1675251975m²