Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7813 / 8590
↖ ↑ ↗
← N 78.752802°
W137.081909°		 ← 119.13 m → N 78.752802°
W137.076416°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
N 78.751731°
W137.081909°		 ← 119.14 m →
14 193 m²		 N 78.751731°
W137.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119224548339844 y=0.131080627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119224548339844 × 216)
    floor (0.119224548339844 × 65536)
    floor (7813.5)     		tx = 7813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131080627441406 × 216)
    floor (0.131080627441406 × 65536)
    floor (8590.5)     		ty = 8590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7813 / 8590 ti = "16/7813/8590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7813/8590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7813 ÷ 216
    7813 ÷ 65536     		x = 0.119216918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8590 ÷ 216
    8590 ÷ 65536     		y = 0.131072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119216918945312 × 2 - 1) × π
    -0.761566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39253066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131072998046875 × 2 - 1) × π
    0.73785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31803671802744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39253066} λ = -2.39253066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31803671802744))-π/2
    2×atan(10.1557161862686)-π/2
    2×1.47264600870165-π/2
    2.94529201740331-1.57079632675     		φ = 1.37449569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39253066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.081909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37449569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.752802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7813 KachelY 8590 -2.39253066 1.37449569 -137.081909 78.752802
    Oben rechts KachelX + 1 7814 KachelY 8590 -2.39243479 1.37449569 -137.076416 78.752802
    Unten links KachelX 7813 KachelY + 1 8591 -2.39253066 1.37447699 -137.081909 78.751731
    Unten rechts KachelX + 1 7814 KachelY + 1 8591 -2.39243479 1.37447699 -137.076416 78.751731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37449569-1.37447699) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37449569-1.37447699) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39253066--2.39243479) × cos(1.37449569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195042357406086 × 6371000     		do = 119.129486535604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39253066--2.39243479) × cos(1.37447699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195060698235116 × 6371000     		du = 119.140688889667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37449569)-sin(1.37447699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195042357406086-0.195060698235116)×R²
    abs(-2.39243479--2.39253066)×1.83408290296283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83408290296283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83408290296283e-05×40589641000000     		ar = 14193.4803399831m²