Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78128 / 82256
↖ ↑ ↗
← S 41.672912°
E 34.584961°		 ← 228.14 m → S 41.672912°
E 34.587708°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
S 41.674964°
E 34.584961°		 ← 228.13 m →
52 048 m²		 S 41.674964°
E 34.587708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596073150634766 y=0.627567291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596073150634766 × 217)
    floor (0.596073150634766 × 131072)
    floor (78128.5)     		tx = 78128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627567291259766 × 217)
    floor (0.627567291259766 × 131072)
    floor (82256.5)     		ty = 82256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78128 / 82256 ti = "17/78128/82256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78128/82256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78128 ÷ 217
    78128 ÷ 131072     		x = 0.5960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82256 ÷ 217
    82256 ÷ 131072     		y = 0.6275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5960693359375 × 2 - 1) × π
    0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60362144} λ = 0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801504961647339))-π/2
    2×atan(0.448653249848752)-π/2
    2×0.421733403333345-π/2
    0.843466806666691-1.57079632675     		φ = -0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78128 KachelY 82256 0.60362144 -0.72732952 34.584961 -41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 78129 KachelY 82256 0.60366938 -0.72732952 34.587708 -41.672912
    Unten links KachelX 78128 KachelY + 1 82257 0.60362144 -0.72736533 34.584961 -41.674964
    Unten rechts KachelX + 1 78129 KachelY + 1 82257 0.60366938 -0.72736533 34.587708 -41.674964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72732952--0.72736533) × R
    3.58100000000805e-05 × 6371000     		dl = 228.145510000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72732952--0.72736533) × R
    3.58100000000805e-05 × 6371000     		dr = 228.145510000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60362144-0.60366938) × cos(-0.72732952) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 228.138552176496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60362144-0.60366938) × cos(-0.72736533) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746928795426101 × 6371000     		du = 228.131280070704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72732952)-sin(-0.72736533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.746928795426101)×R²
    abs(0.60366938-0.60362144)×2.38097345417465e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38097345417465e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38097345417465e-05×40589641000000     		ar = 52047.9567936501m²