Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78126 / 82255
↖ ↑ ↗
← S 41.670860°
E 34.579468°		 ← 228.10 m → S 41.670860°
E 34.582214°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
S 41.672912°
E 34.579468°		 ← 228.09 m →
52 039 m²		 S 41.672912°
E 34.582214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596057891845703 y=0.627559661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596057891845703 × 217)
    floor (0.596057891845703 × 131072)
    floor (78126.5)     		tx = 78126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627559661865234 × 217)
    floor (0.627559661865234 × 131072)
    floor (82255.5)     		ty = 82255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78126 / 82255 ti = "17/78126/82255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78126/82255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78126 ÷ 217
    78126 ÷ 131072     		x = 0.596054077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82255 ÷ 217
    82255 ÷ 131072     		y = 0.627555847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596054077148438 × 2 - 1) × π
    0.192108154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60352557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627555847167969 × 2 - 1) × π
    -0.255111694335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.801457024747719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60352557} λ = 0.60352557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801457024747719))-π/2
    2×atan(0.448674757410053)-π/2
    2×0.421751306914678-π/2
    0.843502613829356-1.57079632675     		φ = -0.72729371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60352557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.579468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72729371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.670860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78126 KachelY 82255 0.60352557 -0.72729371 34.579468 -41.670860
    Oben rechts KachelX + 1 78127 KachelY 82255 0.60357350 -0.72729371 34.582214 -41.670860
    Unten links KachelX 78126 KachelY + 1 82256 0.60352557 -0.72732952 34.579468 -41.672912
    Unten rechts KachelX + 1 78127 KachelY + 1 82256 0.60357350 -0.72732952 34.582214 -41.672912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72729371--0.72732952) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72729371--0.72732952) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60352557-0.60357350) × cos(-0.72729371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746976413937326 × 6371000     		do = 228.098234122162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60352557-0.60357350) × cos(-0.72732952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746952605160643 × 6371000     		du = 228.090963825782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72729371)-sin(-0.72732952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746976413937326-0.746952605160643)×R²
    abs(0.60357350-0.60352557)×2.38087766823991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38087766823991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38087766823991e-05×40589641000000     		ar = 52038.7586165221m²