Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78125 / 82257
↖ ↑ ↗
← S 41.674964°
E 34.576721°		 ← 228.13 m → S 41.674964°
E 34.579468°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
S 41.677015°
E 34.576721°		 ← 228.12 m →
52 032 m²		 S 41.677015°
E 34.579468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596050262451172 y=0.627574920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596050262451172 × 217)
    floor (0.596050262451172 × 131072)
    floor (78125.5)     		tx = 78125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627574920654297 × 217)
    floor (0.627574920654297 × 131072)
    floor (82257.5)     		ty = 82257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78125 / 82257 ti = "17/78125/82257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78125/82257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78125 ÷ 217
    78125 ÷ 131072     		x = 0.596046447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82257 ÷ 217
    82257 ÷ 131072     		y = 0.627571105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596046447753906 × 2 - 1) × π
    0.192092895507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.60347763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627571105957031 × 2 - 1) × π
    -0.255142211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.801552898546959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60347763} λ = 0.60347763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801552898546959))-π/2
    2×atan(0.448631743318432)-π/2
    2×0.421715500322629-π/2
    0.843431000645258-1.57079632675     		φ = -0.72736533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60347763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.576721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72736533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.674964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78125 KachelY 82257 0.60347763 -0.72736533 34.576721 -41.674964
    Oben rechts KachelX + 1 78126 KachelY 82257 0.60352557 -0.72736533 34.579468 -41.674964
    Unten links KachelX 78125 KachelY + 1 82258 0.60347763 -0.72740113 34.576721 -41.677015
    Unten rechts KachelX + 1 78126 KachelY + 1 82258 0.60352557 -0.72740113 34.579468 -41.677015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72736533--0.72740113) × R
    3.57999999999192e-05 × 6371000     		dl = 228.081799999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72736533--0.72740113) × R
    3.57999999999192e-05 × 6371000     		dr = 228.081799999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60347763-0.60352557) × cos(-0.72736533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746928795426101 × 6371000     		do = 228.131280070176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60347763-0.60352557) × cos(-0.72740113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746904991383039 × 6371000     		du = 228.124009702709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72736533)-sin(-0.72740113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746928795426101-0.746904991383039)×R²
    abs(0.60352557-0.60347763)×2.38040430625697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38040430625697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38040430625697e-05×40589641000000     		ar = 52031.7638807642m²