Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78123 / 82246
↖ ↑ ↗
← S 41.652393°
E 34.571228°		 ← 228.16 m → S 41.652393°
E 34.573974°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
S 41.654445°
E 34.571228°		 ← 228.16 m →
52 054 m²		 S 41.654445°
E 34.573974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596035003662109 y=0.627490997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596035003662109 × 217)
    floor (0.596035003662109 × 131072)
    floor (78123.5)     		tx = 78123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627490997314453 × 217)
    floor (0.627490997314453 × 131072)
    floor (82246.5)     		ty = 82246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78123 / 82246 ti = "17/78123/82246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78123/82246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78123 ÷ 217
    78123 ÷ 131072     		x = 0.596031188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82246 ÷ 217
    82246 ÷ 131072     		y = 0.627487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596031188964844 × 2 - 1) × π
    0.192062377929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.60338176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.254974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.801025592651138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60338176} λ = 0.60338176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801025592651138))-π/2
    2×atan(0.448868371864067)-π/2
    2×0.421912464823634-π/2
    0.843824929647267-1.57079632675     		φ = -0.72697140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60338176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.571228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72697140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.652393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78123 KachelY 82246 0.60338176 -0.72697140 34.571228 -41.652393
    Oben rechts KachelX + 1 78124 KachelY 82246 0.60342969 -0.72697140 34.573974 -41.652393
    Unten links KachelX 78123 KachelY + 1 82247 0.60338176 -0.72700721 34.571228 -41.654445
    Unten rechts KachelX + 1 78124 KachelY + 1 82247 0.60342969 -0.72700721 34.573974 -41.654445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72697140--0.72700721) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72697140--0.72700721) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60338176-0.60342969) × cos(-0.72697140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74719066311096 × 6371000     		do = 228.163657684749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60338176-0.60342969) × cos(-0.72700721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74716686295692 × 6371000     		du = 228.156390021396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72697140)-sin(-0.72700721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74719066311096-0.74716686295692)×R²
    abs(0.60342969-0.60338176)×2.38001540405763e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38001540405763e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38001540405763e-05×40589641000000     		ar = 52053.685009071m²