Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7812 / 8591
↖ ↑ ↗
← N 78.751731°
W137.087402°		 ← 119.14 m → N 78.751731°
W137.081909°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
N 78.750659°
W137.087402°		 ← 119.15 m →
14 195 m²		 N 78.750659°
W137.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119209289550781 y=0.131095886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119209289550781 × 216)
    floor (0.119209289550781 × 65536)
    floor (7812.5)     		tx = 7812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131095886230469 × 216)
    floor (0.131095886230469 × 65536)
    floor (8591.5)     		ty = 8591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7812 / 8591 ti = "16/7812/8591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7812/8591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7812 ÷ 216
    7812 ÷ 65536     		x = 0.11920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8591 ÷ 216
    8591 ÷ 65536     		y = 0.131088256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.7615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39262653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131088256835938 × 2 - 1) × π
    0.737823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3179408442282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39262653} λ = -2.39262653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3179408442282))-π/2
    2×atan(10.1547425658469)-π/2
    2×1.47263665853617-π/2
    2.94527331707234-1.57079632675     		φ = 1.37447699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39262653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37447699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.751731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7812 KachelY 8591 -2.39262653 1.37447699 -137.087402 78.751731
    Oben rechts KachelX + 1 7813 KachelY 8591 -2.39253066 1.37447699 -137.081909 78.751731
    Unten links KachelX 7812 KachelY + 1 8592 -2.39262653 1.37445829 -137.087402 78.750659
    Unten rechts KachelX + 1 7813 KachelY + 1 8592 -2.39253066 1.37445829 -137.081909 78.750659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37447699-1.37445829) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37447699-1.37445829) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39262653--2.39253066) × cos(1.37447699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195060698235116 × 6371000     		do = 119.140688889667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39262653--2.39253066) × cos(1.37445829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195079038995934 × 6371000     		du = 119.151891202067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37447699)-sin(1.37445829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195060698235116-0.195079038995934)×R²
    abs(-2.39253066--2.39262653)×1.83407608188579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83407608188579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83407608188579e-05×40589641000000     		ar = 14194.8149597951m²